Пусть дана однородная система m линейных уравнений с n неизвестными.
Однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое (тривиальное) решение Х =0.
Теорема о решении однородной системы. Для того чтобы однородная система с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r(A)< n.
При m = n условие r(A)< n означает, что определитель матрицы коэффициентов равен нулю.
Пример. Решить систему линейных однородных уравнений.
n=4 – число неизвестных.
1) Вычислим r(A) методом окаймляющих миноров.
Следовательно, r(A)=2.
2) выберем в качестве базисного, тогда система уравнений запишется в виде:
5 x3+ 3 x4=- 2 x1+ 4 x2
4 x3+ 2 x4=- 3 x1+ 6 x2
x1,x2 -свободные неизвестные, x3,4 -связнные.
Выразим x3,x4 через x1, x2
х3 =-2,5 x1+ 5 x2
х4=- 3,5 x1- 7 x2.
3) Обозначим: x1=С1, x2=С2, тогда общее решение системы:
Частные решения:
(c1= 0 ,c2= 1 ) = (c1= 1 ,c2= 0 ) =
Замечание. Если однородная система имеет хотя бы одно нетривиальное решение, то она имеет бесконечное множество решений.
Общее решение системы есть формула, которая отражает решения системы как функцию свободных неизвестных.