Определитель — число, характеризующее квадратную матрицу. detА=
.
Вычисление определителей.
Определитель матрицы первого порядка, состоящий из одного элемента, есть сам этот элемент.
Определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.
=
=a
a
-a
a
.
Пример: А= .
=
=1·4-2·(-3)=4+6=10.
Определитель третьего порядка вычисляется по формуле
=
= a
a
a
+a
a
a
+a
a
a
-a
a
a
-a
a
a
-a
a
a
.
Это алгебраическая сумма шести тройных произведений элементов, взятых по одному из разных строк и столбцов. Схема вычисления определителя 3-го порядка (правило Сарруса) показана на рис:
Замечание: правило Сарруса может быть использовано только для вычисления определителя третьего порядка.
Вычисление определителя матриц любого порядка разложением определителя по строке или столбцу.
Пример: разложение определителя по первой строке:
=
= a
A
+a
A
+a
A
, где a
, a
, a
— элементы первой строки, а A
, A
, A
—их алгебраические дополнения.
Алгебраическим дополнением элемента a называется число
|
|
A = (-1)
M
, где M
— минор элемента, i— номер строки, j—номер столбца (1
n) элемента.
Минором M элемента a
определителя
n- го порядка называется определитель (n -1)-го порядка, полученный из
вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца, на пересечении которых стоит элеме6нт a
.
Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения:
= a
A
+a
A
+…+a
A
, 1
n.
Эта формула называется разложением определителя по i-той строке. Аналогичное утверждение имеет место и для разложения определителя по любому столбцу. Эта формула сводит вычисление определителя n-го порядка к вычислению n определителей (n-1)-го порядка.
Этот способ вычисления определителя является универсальным, т.к. позволяет вычислять определители любого порядка.
Пример: Вычислить определитель матрицы А= путем разложения его, например, по второй строке.
Решение
=
= 2·(-1)2+1
+ 4·(-1)2+2
+ 1·(-1)2+3
=
= -2· (3·2 - (-1)· (-2))+4·(1·2-(-1)·3)-1·(1·(-2)-3·3) = -8+ 20+11 = 23.