Как уже указывалось выше, все рассмотренные динамические характеристики являются полными, и применение любой из них в каждом конкретном случае является исключительно делом вкуса или удобства. Каждая из характеристик может быть однозначно найдена, если известна любая другая характеристика (рис. 3-6). Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Стационарная линейная система или элемент системы с сосредоточенными параметрами описывается обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
(3-26)
Рис. 3-6. Взаимосвязь динамических характеристик
(сравни с (3-13)). Импульсная характеристика w(t) (или переходная функция в h(t))может быть найдена как решение этого уравнения для нулевых начальных условий при подстановке х(t)=δ(t) (или х(t)= 1 (t) для h(t)). Для определения передаточной функции по (3-26) воспользуемся теоремой о дифференцировании оригинала при нулевых начальных условиях (см. табл. 3-1, п. 5). Получаем аналог (3-26)
, (3-27)
откуда, вынося Y(р) и Х(р) за знак суммы, получаем в соответствии с определением (3-22)
|
|
. (3-28)
Таким образом, передаточная функция линейных систем с сосредоточенными параметрами всегда является дробно-рациональной функцией. Из связи преобразований Лапласа и Фурье получаем
. (3-29)
Таким образом, переход от характеристик во временной области (3-26) к характеристикам в частотной области (3-29) не представляет труда. Для обратного перехода, например, от передаточной функции (3-28) к дифференциальному уравнению (3-26) следует лишь произвести подстановку в (3-27) (оператор дифференцирования).
Импульсная характеристика может быть найдена из передаточной функции как обратное преобразование Лапласа
, (3-30)
где с — абсцисса абсолютной сходимости.
На практике вместо преобразования (3-30) пользуются для дробно-рациональных функций типа (3-28) теоремой разложения Хевисайда (эта теорема для случая простых корней дана в табл. 3-1, п. 9)
, (3-31,а)
где pk — корни алгебраического уравнения А(р) =0;
п — число разных корней уравнения А(р) =0;
тk — кратность корня pk (очевидно, что )
ckj - — коэффициент, находимый как
. (3-31б)
Пример 3-4. Рассмотрим дифференциальное уравнение двигателя (3-10) при Мс =0. Передаточная функция, как следует из (3-28), равна
.
Корни уравнения А(р) =0 простые и равны р 1=0, . По теореме разложения (удобнее в форме п. 9 табл. 3-1) находим