Задачі для самостійного розв’язування

1. У похід пішли 12 туристів. Наймолодшому з них 20 років, а найстаршому – 30. Чи є серед них однолітки?

2. У школі навчається 750 учнів. Доведіть, що принаймні троє з них народилися в один і той самий день.

3. У класі 38 учнів. Чи знайдеться хоча б проходить один місяць, в якому день народження відзначають хоча б 4 учні?

4. Доведіть, що пряма, яка лежить у площині трикутника і не проходить через його вершини, не може перетинати всі його сторони.

5. Кожну грань куба пофарбовано. Доведіть, що, якщо використовувати два кольори, то знайдуться дві суміжні грані, які пофарбовані одним кольором.

6. У магазин привезли 25 ящиків з яблуками трьох сортів, причому в кожному ящику лежать яблука якого-небудь одного сорту. Чи можна знайти 9 ящиків з яблуками одного сорту?

7. Шість школярів з’їли 7 цукерок. Доведіть, що один з них з’їв не менше двох цукерок.

8. На квадрат зі стороною 1 м кинули 51 точку. Доведіть, що принаймні три з них можна накрити квадратом зі стороною 20 см.

9. У класі навчається 28 учнів. Під час диктанту один учень зробив 13 помилок, а кожен з решти – не більше за 13. Доведіть, що принаймні 3 учні зробили однакову кількість помилок.

10. 50 коней розмістили в 7 конюшнях. Доведіть, що хоча б одній конюшні більше, ніж 7 коней.

11. У одному класі 28 учнів. Чи можна стверджувати, що в цьому класі знайдеться хоча б 2 учні, прізвища яких починаються з однієї букви?

12. У місті 2 500 000 жителів. Науковці вважають, що в кожної людини менше 200 000 волосин на голові. Доведіть, що знайдеться 13 жителів у місті, в яких однакова кількість волосин на голові.

13. У магазин привезли 34 ящика цукерок трьох сортів, причому в кожному ящику лежать цукерки одного сорту. Чи можна знайти 12 ящиків з цукерками одного сорту?

14. У хлопчика було 19 білих монет. Чи є серед них 7 однакових?

15. 10 міст сполучені авіалініями. Доведіть, що хоча б два міста мають однакову кількість авіаліній.

16. У килимі розміром 4м на 4 м міль проїла 15 дірок. Доведіть, що з нього можна вирізати килимок розміром 1м на 1 м, який не має дірок.

17. У маршрутному таксі їдуть 5 пасажирів. Доведіть, що знайдуться 2 пари пасажирів, які мають однакову кількість знайомих серед цих пасажирів. (Вважаємо, що коли А – знайомий з В, то В – знайомий із А; не вважаємо нікого знайомим самому собі.)

18. У залі n≥2 чоловік. Доведіть, що в залі знайдуться двоє людей, які мають серед присутніх однакову кількість знайомих.

19. Усі точки площини пофарбовані у два кольори. Доведіть, що на площині є дві точки одного кольору, відстань між яким 1 см.

20. На кожній клітинці дошки розміром 5 х 5 клітинок сидить жук. За командою жуки переповзають на сусідні клітинки. Доведіть, що після того, як усі жуки переповзуть, знайдеться клітинка, на якій сидітимуть принаймні два жуки.

21. На кожній клітинці дошки розміром 9 х 9 клітинок сидить жук. За командою жуки переповзають на сусідні по діагоналі клітинки. Чи будуть на дошці вільні клітинки після того, як усі жуки переповзуть? Якщо будуть, то яка їх найменша кількість?