Проверка гипотез о числовых значениях параметров

Остановимся теперь на примерах статистических критериев, при этом важные критерии относящиеся к корреляционно-регрессионному анализу будут обсуждаться в соответствующих разделах. Здесь мы опишем несколько примеров статистических критериев, предназначенных для проверки простых статистических гипотез относительно числовых параметров анализируемых законов распределения вероятностей.

Общая схема статистической проверки гипотез:

1. Формулируется основная H ₁ и альтернативная H ₁ гипотезы.
2. Выбирается соответствующий уровень значимости a.
3. Определяется объем выборки n.
4. Выбирается критерий K для проверки H ₀.
5. Строится критическая область и область принятия гипотезы (в соответствии с выбранной альтернативной гипотезой).
6. Вычисляется наблюдаемое значение критерия K _набл (по данным выборки).
7. Принимается статистическое решение (если K _набл попадает в область принятия решений, то нет оснований отклонять основную гипотезу, т.е. она принимается, если K _набл попадает в критическую область, то основная гипотеза отвергается).

Критерии проверки гипотез о числовых значениях параметров нормального распределения приведены в таблице 3.

Таблица 3.7

H 0	Предположения	Статистика критерия	H 1	Область принятия решения
a = a 0	s2 известно		a ¹ a 0
a > a 0
a < a 0
s2 неизвестно		a ¹ a 0
a > a 0
a < a 0
	a неизвестно

Проверка статистических гипотез с использованием критериев значимости может быть проведена на основе доверительных интервалов. Для всех параметрических гипотез Для всех параметрических гипотез область принятия гипотезы H ₀: q=q₀ на уровне значимости a совпадает с доверительным интервалом для параметра q при доверительной вероятности 1–a. При этом одностороннему критерию значимости соответствует односторонний доверительный интервал, а двухстороннему критерию значимости – двухсторонний доверительный интервал. Гипотеза H ₀ принимается, если значение q₀ накрывается соответствующим доверительным интервалом; в противном случае гипотеза H ₀ отвергается.

Если проверяется гипотеза H ₀:q = q₀, то рассматривается доверительный интервал для разности q₁–q₂. Гипотеза принимается, если доверительный интервал для разности параметров q₁–q₂ накрывает нулевые значения. Для проверки гипотезы о равенстве двух дисперсий H ₀: строится доверительный интервал для отношения дисперсий . В этом случае гипотеза H ₀ принимается, если доверительный интервал накрывает значение, равное единице.

Пример 3.11. Утверждается, что шарики, изготовленные станком-автоматом, имеют средний диаметр d ₀=10 мм. В выборке из n =16 шариков средний диаметр оказался равным мм. Проверить нулевую гипотезу H ₀: , считая, что дисперсия известна и равна s²=1 мм ². Считать уровень значимости a=0,05.

Решение. Введем статистический критерий:

,

который при справедливости нулевой гипотезы H ₀, имеет стандартное нормальное распределение N (0;1). Пусть альтернативная гипотеза имеет вид H ₁: , то критическая область будет иметь двухсторонний вид: (–¥;– Z_крит)È(Z_крит;+ ¥), где Z_крит определяется из условия

,

или

.

Поскольку

не попадает в критическую область, то нет оснований отклонять нулевую гипотезу, т.е. что шарики, изготовленные станком-автоматом, имеют средний диаметр 10 мм.

Данную задачу можно решить и при помощи доверительных интервалов. Мы уже разбирали, что доверительный интервал для нормального случайной величины при известном s имеет вид

.

Поскольку t _0,95=1,96, то

.

Так как d ₀=10Î(9,84; 10,76), то гипотеза H ₀ принимается. â

Пример 3.12. Анализируется доход X фирм в отрасли, имеющей нормальное распределение. Предполагается, что средний доход в данной отрасли составляет не менее 1 млн $. По выборке из 49 фирм получены следующие данные: млн $ и s=0,15 млн $. Не противоречат ли эти результаты выдвинутой гипотезе при уровне значимости a=0,01?

Решение. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы:

, .

Для проверки гипотезы H ₀ строим критерий

.

Критическая область будет левосторонней, поэтому

.

Поскольку T_набл= –4,67<–2,404= T_крит, то H ₀ должна быть отклонена в пользу H ₁, что дает основание считать, что средний доход в отрасли меньше, чем 1 млн $. â

Пример 3.13. Точность работы станка-автомата, заполняющего пакеты порошком, определяется совпадением веса пакетов. Дисперсия веса не должна превышать 25 г ². По выборке из 20 пакетов определена дисперсия s ²=30 г ². Определите, требуется ли срочная наладка станка на уровне значимости a=0,05.

Решение. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы, соответствующие условию задачи:

, .

Рассчитаем наблюдаемое значение критерия

.

Найдем критическое значение критерия

.

Так как , то нет оснований отклонять основную гипотезу H ₀, т.е. имеющиеся данные не дают основания считать, что станок требует срочной наладки. â