Проверка гипотез о сравнении параметров генеральной совокупности

При анализе многих экономических показателей приходится сравнивать две генеральные совокупности. Например, можно сравнивать уровни жизни в двух странах по размеру дохода на душу населения; можно сравнивать два варианта инвестирования по размерам средних дивидендов; качество знаний студентов двух университетов – по среднему баллу на комплексном тестовом экзамене. В этих случаях логично провести сравнение по схеме анализа равенства математических ожиданий двух генеральных совокупностей X и Y.

Рассмотрим две случайные величины X ~ N (a ₁,s₁) и Y~ N (a ₂,s₂), каждая из которых подчиняется нормальному закону распределения. Пусть имеются две независимые выборки с объемами n ₁ и n ₂ из генеральных совокупностей X и Y. Необходимо проверить нулевую гипотезу H ₀: M[ X ]=M[ Y ]. Нулевая гипотеза в приведенной формулировке является сложной, поскольку она справедлива при любых a =M[ X ]=M[ Y ], однако она может быть сведена к простой, если рассматривать разность средних, т.е. H ₀: M[ X ]–M[ Y ]=0.

Относительно параметров и можно выделить четыре варианта предположений:

a) обе дисперсии известны и равны между собой;

b) обе дисперсии известны, но неравны между собой;

c) обе дисперсии неизвестны, но предполагается, что они равны между собой;

d) обе дисперсии неизвестны и их равенство не предполагается.

Критерии проверки гипотез о числовых значениях параметров нормального распределения приведены в таблице 3.8. Отметим, что в таблице 3.8 вариант a) рассматривается как частный случай варианта b). В случае неизвестных дисперсий, равенство которых не предполагается, используется аналог статистики варианта b) с заменой неизвестных дисперсий их оценками

. (3.29)

В этой ситуации указать точное распределение введенной статистики затруднительно. Известно, однако, что это распределение близко к распределению Стьюдента с числом степеней свободы, равным

. (3.30)

Критерий проверки устроен так же, как и для варианта c).

Таким образом, для выбора подходящей проверочной статистики в случае, когда генеральные дисперсии неизвестны, необходимо знать, какое предположение принимается. Прежде всего нужно решить, можно ли считать неизвестные генеральные дисперсии равными или нет. Для принятия решения используют F -критерий Фишера (см. далее).

Таблица 3.9

H 0	Предположения	Статистика критерия	H 1	Область принятия решения
a 1= a 2	, известны		a 1¹ a 2
a 1> a 2
a 1< a 2
, неизвестны, но равны	, где	a 1¹ a 2
a 1> a 2
a 1< a 2

Зачастую при сравнении двух экономических показателей на первый план выходит анализ разброса значений рассматриваемых случайных величин. Например, при решении вопроса об инвестировании в одну из двух отраслей остро стоит проблема риска вложений. При сравнении уровней жизни в двух странах среднедушевые доходы могут оказаться приблизительно равными. Сопоставив разброс в доходах, мы получаем более точное представление о них. Анализ, аналогичный описанному выше, целесообразно проводить путем сравнения дисперсий исследуемых случайных величин.

Пусть X ~ N (a ₁,s₁) и Y~ N (a ₂,s₂), причем их средне квадратичные отклонения s₁ и s₂ неизвестны. Выдвигается гипотеза о равенстве дисперсий . Однако это гипотеза в приведенной формулировке является сложной, поэтому вместо этой гипотезы рассматривается другая, простая гипотеза об отношении дисперсий, т.е. .

В качестве критерия проверки гипотезы H ₀ принимают случайную величину

, (3.31)

определяемую отношение большей исправленной выборочной дисперсии к меньшей (). Если нулевая гипотеза H ₀ верна, то данная статистика имеет F -распределение Фишера с n₁= n ₁–1 и n₂= n ₂–1 степенями свободы. Различные случаи использования этого критерия Фишера приведены в таблице 3.8.

Таблица 3.8

H 0	Предположения	Статистика критерия	H 1	Область принятия решения
	a 1, a 2 неизвестны	, ()

Пример 3.14. Компания по производству сахарного песка имеет производственные линии для наполнения мешочков сахарным песком по 1 кг. Используя данные, собранные в течение долгого периода времени, управляющий оценивает генеральное стандартное отклонение массы мешочков, поставляемых с линии А в 0,02 кг (s₁) и с линии B в 0,04 кг (s₂). Из линии A была взята случайная выборка объемом n ₁=10 мешочков и найдена средняя масса содержимого в мешочках . Подобная выборка объемом n ₂=12 мешочков была взята из линии B и найдена средняя масса . Имеется ли какое-нибудь основание предполагать, что две производственные линии развешивают сахарный песок по мешочкам, средняя масса которых отличается?

Решение. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы, соответствующие условию задачи:

, .

Поскольку генеральные дисперсии ( и ) известны, проверим существенность разности между выборочными средними, используя нормальное распределение на уровне значимости a=0,01. Вычисляем наблюдаемое значение критерия

Поскольку критическая область имеет двухсторонний вид, то критическое значение критерия будет определяется из условия

,

или

.

В результате получаем, что | Z_набл| <Z _крит, т.е. нет оснований отклонять нулевую гипотезу. Следовательно, можно полагать, что мешочки, наполненные сахаром на двух производственных линиях, имеют одинаковую среднюю массу. â

Пример 3.15. Для исследования качества масла были сделаны выборки по 10 единиц из каждой последовательной серии (n ₁ и n ₂) и определена доля воды в процентах x в каждой выборке. В первой серии средний процент составил с исправленным средним квадратичным отклонением . Для второй серии средний процент воды составил со средним квадратичным отклонением . Имеются ли основания предполагать на 5%-ом уровне значимости, что две серии масла имеют различную массовую долю воды?

Решение. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы, соответствующие условию задачи:

, .

Поскольку генеральные дисперсии ( и ) неизвестны, то следует предварительно проверить о равенстве генеральных дисперсий, т.е. проверяем нулевую гипотезу с соответствующей альтернативной гипотезой:

, .

наблюдаемое значение критерия Фишера:

.

Здесь учено, что . Поскольку, в соответствии с выбранной альтернативной гипотезой, критическая область будет двухсторонней, то определяет критической значение критерия Фишера:

В результате получаем, что F_набл <F _крит, т.е. нет оснований отклонять нулевую гипотезу. Следовательно, можно полагать, что две генеральные дисперсии раны друг другу.

Продолжим теперь испытание гипотез о равенстве двух генеральных средних. Для этого вычислим наблюдаемое значение соответствующего критерия Стьюдента:

,

.

Поскольку критическая область также будет двухсторонней, то соответствующая критическое значение критерия Стьюдента будет равно:

.

В результате получаем, что T_набл > T_крит, т.е. нулевая гипотеза отклоняется. Следовательно, можно полагать, что две серии проб имеют разное содержание воды (по массе).