Критерий согласия Колмогорова

Большое значение для построения подходящей статистики имеет факт применимости закона больших чисел к эмпирической функции распределения, Именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 5.4.1. Пусть - эмпирическая функция распределения, построенная по выборке из генеральной совокупности . Тогда для и .

Имеем по определению: , т.е. при каждом действительном есть относительная частота события («успеха») в n опытах по схеме Бернулли с вероятностью «успеха» . Поэтому утверждение теоремы следует из ЗБЧ в формулировке Бернулли.

Колмогоровым была изучена статистика - точная верхняя грань отклонения эмпирической функции распределения от теоретической на всей оси, - и на ее основе разработан критерий согласия. Имеет место следующая теорема:

Теорема 5.4.2 (Колмогоров). Пусть Х -СВНТ с функцией распределения

без доказательства [ см. например, [5], §3.2]

Функция - функция распределения Колмогорова – табулирована и может быть использована для проверки гипотезы о законе распределения непрерывной генеральной случайной величины с помощью статистики уже при .

На практике экстремум заменяется на максимум, который достигается в одной из точек скачка эмпирической функции распределения (если она строится для простой выборки). Несколько сложнее осуществляется поиск максимума отклонения для интервальной выборки. При этом возникает не простой вопрос о зависимости мощности критерия от числа интервалов, если эти интервалы не порождены естественной классификацией признаков в номинальной шкале.