Домашнее задание ОТИ
Цель работы: записать результаты измерения по 50 точкам и представить его графически
Дано:
Вариант 13.Домашнее задание студенту __________________ по ОТИ.
1.Записать результат измерения длины стержня, мм:
Обработка результата ведётся в три этапа:
1. Обнаружение и исключение ошибок.
2. Проверка нормальности закона распределения вероятности результата измерения.
3. Вычисление доверительного интервала математического ожидания ε и построение карты процесса.
1. Обнаружение и исключение ошибок.
В системах при измерениях могут происходить сбои, отказы аппаратуры, скачки напряжения, ошибки в записях данных. Появляются ошибки, вероятность которых не так мала. Необходимо пользоваться правилом, с помощью которого можно отбросить сомнительные результаты.
|
|
Это правило 3σ: Если при многократном измерении одной и той же физической величины постоянного размера сомнительные значения результата измерения отличаются от среднего больше чем на 3σ, то с вероятностью больше 0,997 они являются ошибочными и их следует отбросить. σ – дисперсия.
-3σ +3σ
х х
При расчётах принимать σ=s, так как среднее квадратичное отклонение является оценкой дисперсии. Ошибочными будут те значения, которые не входят в интервал:
[ -3s; +3s].
Для проведения анализа результатов измерений занесём вспомогательные расчёты в таблицу 2.
Таблица 2 – Вспомогательные расчёты
xi | mi | mi· xi | xi- | (xi- )2 | (xi- )2·mi |
-2,72 | 7,3984 | 44,3904 | |||
-1,72 | 2,9584 | 23,6672 | |||
-0,72 | 0,5184 | 5,7024 | |||
0,28 | 0,000016 | 0,000144 | |||
1,28 | 1,6384 | 11,4688 | |||
2,28 | 5,1984 | 25,992 | |||
3,28 | 10,7584 | 21,5168 | |||
4,28 | 18,3184 | 36,6368 | |||
Ʃ | 46,788816 | 169,374544 |
mi – количество раз, которое xi повторяется в массиве
- среднее арифметическое результатов измерений.
= мм, (1)
где k – кол-во интервалов.
Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:
= мм. (2)
Найдём границы интервала [ -3s; +3s].
Все полученные значения входят в доверительный интервал [201,14; 212,3], следовательно, ошибочных значений нет.
Если какие-либо значения оказываются ошибочными, их отбрасывают, и проверка на ошибки проводится снова.
Если все значения попали в данный интервал, делаем вывод, что грубых ошибок нет и можно приступить к проверке на нормальность закона распределения.
2. Проверка нормальности закона распределения результата измерений
|
|
При обработке экспериментальных данных возникает вопрос, подчиняются результаты измерения нормальному закону. Не противоречивость такой гипотезы должна быть обязательно проверена, т.к. большинство классических методов математической статистики, используемых в задачах обработки измерений, могут быть применимы, только если распределение нормальное.
Для проверки гипотезы о нормальности построим по результатам экспериментальных данных гистограмму (рисунок 1). Для этого разбиваем наш массив на интервалы. При числе измерений 40-100 число интервалов 6-9.
Рисунок 1 – Гистограмма результатов измерений
Математическая статистика даёт несколько показателей, по которым можно судить, насколько фактическое значение согласуется с нормальным распределением. Известны критерии Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.
В данном случае согласованность статистического и выбранного теоретического распределения проверим с помощью критерия Пирсона .
. (3)
При использовании этого критерия за меру расхождения экспериментальных данных с теоретическими применяется сумма квадратов отклонений частности (вероятность появления i числа в этом интервале) от теоретической вероятности попадания отдельного результата измерения в i интервал. Причём каждое слагаемое берётся с коэффициентом .
Если , то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результатов измерения принимается.
Расчёт значений частот теоретического ряда распределения для собранных данных представлен в таблице 3.
Таблица 3 – Расчёт значений частот теоретического ряда распределения для собранных данных
i | Интервалы | mi | Ф(ti) | ||||
- | - | - | - | -0,5 | - | - | |
(-∞ | 204,5] | -1,1940622 | -0,383 | 0,117 | 0,00384615 | ||
(204,5 | 205,5] | -0,6561963 | -0,2422 | 0,1408 | 0,13090909 | ||
(205,5 | 206,5] | -0,1183305 | -0,0478 | 0,1944 | 0,16855967 | ||
(206,5 | 207,5] | 0,41953536 | 0,1628 | 0,2106 | 0,22230769 | ||
(207,5 | 208,5] | 0,95740121 | 0,3289 | 0,1661 | 0,2050602 | ||
(208,5 | 209,5] | 1,49526706 | 0,4319 | 0,103 | 0,00436893 | ||
(209,5 | 210,5] | 2,03313291 | 0,4793 | 0,0474 | 0,05776371 | ||
(210,5 | +∞) | 2,57099876 | 0,4951 | 0,0158 | 1,85329114 | ||
Σ | 5,5077463 | 2,6461066 |
- показывает, на сколько стандартных отклонений s отстоит от среднего арифметического значения правая граница каждого интервала; и s берём из предыдущего пункта.
Ф(ti) – функции Лапласа. Значения берутся из статистической таблицы в зависимости от (приложение А). Причём, если отрицательная, то и функция Лапласа берётся с минусом.
- теоретическая вероятность попадания в i интервал отдельного значения.
Суммирование чисел в последнем столбце даёт критерий Пирсона для нашего массива данных.
Сравнивая его с табличным подтвердим или опровергнем гипотезу о нормальном распределении результатов измерения. В соответствии с таблицей критических значений критерия Пирсона (приложение Б) найдём табличное значение для уровня значимости α =0,05 и степени свободы r=k-3, где k - число интервалов.
В данном примере =11,07
Фактическое значение меньше табличного. Гипотезу о нормальном распределении принимаем. После это можно применить формулы для расчёта доверительного интервала.
3. Вычисление доверительного интервала математического ожидания ε и построение карты процесса.
Результат измерений записывается в следующем виде:
; (4)
где =- предельное отклонение,
t – коэффициент Стьюдента, который зависит от доверительной вероятности (в нашем случае Р=0,95) и числа степеней свободы f=n-1 в нашем случае равен 2,0086 (приложение В).
Таким образом, результат измерений:
.
Контрольную карту процесса мы получаем подставив значения измерений (рисунок 2).
Рисунок 2 – Контрольная карта процесса измерений