Класс
Решения олимпиадных заданий
1. Расставьте «+» или «-» в записи так, чтобы получилось верное равенство:
Ответ: +1- 2+4+8-16- 32+64=27
2. Приходя в тир, игрок вносит в кассу 100 рублей. После каждого удачного выстрела количество его денег увеличивается на 10%, а после каждого промаха – уменьшается на 10%. Могло ли после нескольких выстрелов у него оказаться 80 рублей 19 копеек?
Решение. Увеличение на 10% означает умножение на 1,1. Уменьшение на 10% - умножение на 0,9. Разложив 8019 на множители 8019=3∙3∙3∙3∙3∙3∙11=9∙9∙9∙11. Поэтому после трёх промахов и одного попадания у него окажется 80 рублей и 19 копеек.
А) Докажите, что среди любых 11 чисел найдутся 2, оканчивающиеся на одну и туже цифру
Б) Докажите, что среди любых 11 чисел найдутся 2, разность которых делится на 10
Решение
а) цифр 10, а чисел -11, поэтому найдутся 2, оканчивающиеся на одну и туже цифру;
б) найдутся два числа, оканчивающиеся на одну и ту же цифру, тогда их разность будет делиться на 10.
Для каждой из изображенных на рисунке фигур придумайте способ разрезать ее на две части, из которых можно сложить квадрат.
|
|
Указание. Обратим внимание, что каждая из указанных фигур состоит из 16=4·4 клеток, значит, квадрат получится размера 4×4. Дальше надо постараться «увидеть» часть этого квадрата на рисунке и часть фигуры, которую надо отрезать и передвинуть.
Если правильно «разрезана» одна (любая) фигура – 3 балла;
Если правильно «разрезаны» две (любые) фигуры – 5 баллов;
Если правильно «разрезаны» все три фигуры – 7 баллов.