Центр тяжести тел

Сложение параллельных сил. Центр параллельных сил.

Пусть даны две параллельные силы и , направленные в одну сторону и приложенные к точкам A₁ и A₂ (рис.34).

Рис.34

Величина их равнодействующей . Вектор её параллелен силам и направлен в ту же сторону. С помощью теоремы Вариньона найдём точку приложения равнодействующей – точку С. По этой теореме

Значит

Отсюда . То есть точка приложения равнодействующей делит расстояние между точками A₁ и A₂ на части обратно пропорциональные силам.

Следует заметить, что если точка приложения равнодействующей расположена на одной прямой с точками A₁ и A₂, точками приложения сил, то, при повороте этих сил в одну сторону на одинаковый угол, равнодействующая также повернётся вокруг точки приложения С в том же направлении, и останется параллельной им.

Такая точка приложения равнодействующей называется центром параллельных сил.

Центром нескольких параллельных сил, найденный последовательным сложением каждых двух сил, будем называть точку С, радиус-вектор которой определяется формулой

(1)

где - радиусы-векторы точек приложения сил; – величина равнодействующей параллельных сил, равная алгебраической сумме этих сил (знак силы определяется направлением, которое заранее выбирается и считается положительным).

Используя (1), нетрудно найти координаты центра параллельных сил. Если адиусы-векторы откладывать из начала координат, то проекции радиусов-векторов точек на оси будут равны их координатам. Поэтому, проектируя векторное равенство (1) на оси, получим

где – координаты точек приложения сил.

Центр тяжести тел.

На все точки тела, находящегося вблизи поверхности Земли, действуют силы – силы тяжести этих точек или их вес . Вообще эти силы будут сходящимися – линии действия их пересекаются в центре Земли. Но, если пренебречь размерами тела в сравнении с размерами Земли, то можно считать их параллельными.

Центр этих параллельных сил, сил тяжести точек, называется центром тяжести тела.

Значит находить центр тяжести тел можно как центр параллельных сил. Например, координаты его

(2)

Где – вес каждой точки тела, а – вес всего тела.

Рис.36

При определении центра тяжести полезны несколько теорем.

1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоскости.

Если оси х и у расположить в этой плоскости симметрии (рис.36), то для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами . И координата z_C по (2), будет равна нулю, т.к. в сумме все члены имеющие противоположные знаки, попарно уничтожаются. Значит центр тяжести расположен в плоскости симметрии.

2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Действительно, в этом случае, если ось z провести по оси симметрии, для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами и координаты x_C и y_C, вычисленные по формулам (2), окажутся равными нулю.

3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.

Доказательство аналогичное, предыдущим двум.

Замечания.

Первое. Если тело можно разделить на части, у которых известны вес и положение центра тяжести, то незачем рассматривать каждую точку, а в формулах (2) P_i – определять как вес соответствующей части и – как координаты её центра тяжести.

Второе. Если тело однородное, то вес отдельной части его , где ρ – плотность материала, из которого сделано тело, g- ускорение свободного падения, а V_i - объём этой части тела. И формулы (1) примут более удобный вид.,

Третье замечание. Если тело состоит из однородных пластин одинаковой, малой толщины, то объём каждой пластины где S_i – площадь пластины, d – толщина. И координаты центра тяжести будут определяться только с помощью площадей:

Где – координаты центра тяжести отдельных пластин; – общая площадь тела.

Четвёртое замечание. Если тело состоит из стержней, прямых или криволинейных, однородных и постоянного сечения, то вес их гдe l_i – длина, λ – вес единицы длины (погонного метра), а координаты центра тяжести будут определяться с помощью длин отдельных участков: