Формулы средний квадратических ошибок выборки

Оцениваемый параметр	Повторная выборка	Бесповторная выборка
Средняя	(7)	(8)
Доля	(9)	(10)

Пример 1. При обследовании выработки 1000 рабочих цеха в отчетном году по сравнению с предыдущим по схеме собственно-случайной выборки было отобрано 100 рабочих. Необходимо определить: а) вероятность того, что средняя выработка рабочих цеха отличается от средней выборочной не более, чем на 1 % (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,9545 заключена средняя выработка рабочих цеха. Рассмотреть случаи повторной и бесповторной выборки. Известно: .

Решение.

а) найдем среднюю квадратическую ошибку выборки для средней:

для повторной выборки по (7)

для бесповторной выборки по (8)

Теперь искомую доверительную вероятность находим по (1):

для повторной выборки

для бесповторной выборки

Значение Ф(t) находим по таблице приложения II.

б) найдем предельные ошибки повторной и бесповторной выборок по формуле (3), в которой t=2,00 (находим по таблице приложения II при данной в условии доверительной вероятности из соотношения ).

для повторной выборки

для бесповторной выборки

Пример 2. Из партии, содержащей 2000 деталей, для проверки по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 200 деталей, среди которых оказалось 184 стандартных. Найти: а) вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии отличается от полученной доли в выборке не более чем на 0,02 (по абсолютной величине); б) границы, в которых с надежностью 0,95 заключена доля нестандартных деталей во всей партии.

Решение.

N = 2000, n = 200, m=200-184=16 нестандартных деталей. Выборочная доля нестандартных .

а) по (10) найдем среднюю квадратическую ошибку бесповоторной выборки для доли:

по (2) найдем доверительную вероятность

Значение Ф(t) находим по таблице приложения II.

б) учитывая, что и (по таблице) t = 1,96, найдем предельную ошибку выборки для доли (по 4) . Искомый доверительный интервал определяем (по 6) , .

Объем выборки.

Для проведения выборочного наблюдения важно правильно установить объем выборки n, который в значительной степени определяет необходимые при этом временные, трудовые и стоимостные затраты. Для определения n необходимо задать надежность (доверительную вероятность) оценки и точность (предельную ошибку выборки) .

Формулы объема.

Оцениваемый параметр	Повторная выборка	Бесповторная выборка
Генеральная средняя	(11)	(12)
Генеральная доля	(13)	(14)

Если найден объем повторной выборки n, то объем соответствующей бесповторной выборки можно определить по формуле:

(15).

По условию примера определить объем выборки, при котором с вероятностью 0,9973 отклонение средней выработки рабочих в выборке от средней выработки всех рабочих цеха не превзойдет 1% (по абсолютной величине).

и (по таблице приложения II) t = 3,00, найдем объем повторной выборки по (11) . Объем бесповторной выборки по (12): .

Или по формуле .

Если генеральная совокупность бесконечная (N= ), либо объем бесповторной выборки значительно меньше объема генеральной совокупности , расчеты средних квадратических ошибок (для средней и доли) и необходимого объема бесповторной выборки следует проводить по соответствующим формулам для повторной выборки.