Пример. По мишени производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания при каждом выстреле р = 0,8. Требуется: а) найти закон распределения дискретной случайной величины х, равной числу попаданий в мишень; б) найти вероятности событий: 1 £ х £ 3; х > 3; в) построить многоугольник распределения.
Решение. а) Возможные значения случайной величины х: 0, 1, 2, 3, 4. Соответствующие вероятности вычисляем по формуле Бернулли:
Биномиальный закон распределения х представится таблицей:
xi | |||||
pi | 0,0016 | 0,0256 | 0,1536 | 0,4096 | 0,4096 |
Проверка: 0,0016 + 0,0256 + 0,1536 + 0,4096 + 0,4096 = 1.
б) Вероятность событий 1 £ х £ 3 и х > 3 равны:
р (1 £ х £ 3) = р ({1,2,3}) = р1 + р2 + р3 = 0,0256 + 0,1536 + 0,4096 = 0,5888;
р(х > 3) = р ({4}) = р4 = 0,4096.
Пример.
В урне 7 шаров, из которых 4 белых, а остальные черные. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара; х – число извлеченных белых шаров. Найдите закон распределения дискретной случайной величины х и вероятность события х ³ 2.
Решение.
Возможные значения случайной величины х: 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности р0, р1, р2, р3 подсчитываем классическим способом:
|
|
; ;
;
Гипергеометрический закон распределения х:
xi | ||||
pi |
Вероятность события х ³ 2 равна:
р (х ³ 2) = + = .
Другими часто встречающимися примерами законов распределения дискретной случайной величины являются:
геометрический
xi | … | k | … | |||
pi | p1 | p2 | p3 | … | pk | … |
где pk = qk-1p, q = 1 – p (0 < p < 1);
Закон распределения Пуассона:
xi | … | k | … | ||||
pi | p0 | p1 | p2 | p3 | … | pk | … |
, l - положительное постоянное.
Закон распределения Пуассона является предельным для биномиального при n ® ¥, p ® 0, np = l = const. Виду этого обстоятельства при больших n и малых p биномиальные вероятности вычисляются приближенно по формуле Пуассона:
, где l = np.
Пример.
Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,002. Найдите закон распределения случайной величины х, равной числу поврежденных изделий, и найдите вероятности следующих событий:
А – повреждено менее 3 изделий;
В – повреждено более 2 изделий;
С – повреждено хотя бы одно изделие.
Решение.
Возможные значения х: 0, 1, 2,..., 500; так как n = 500 велико, а р = 0,002 мало, то положив l = 500 × 0,002 = 1, вычислим вероятности
pk = p(x = k)
приближенно по формуле Пуассона:
, k = 0, 1, 2,..., 500.
Закон распределения случайной величины х приближенно имеет вид:
xk | … | 500 | ||||
pk | … |
или
xk | … | 500 | ||||
pk | 0,368 | 0,368 | 0,184 | 0,061 | … | 0,000 |
Используя полученную таблицу, находим вероятности событий А, В и С:
|
|
p(A) = p(x < 3) = p ({0, 1, 2}) = 0,368 + 0,368 + 0,184 = 0,92.
p(B) = p (x > 2) = 1 – p(x £ 2) 1 – p ({0, 1, 2}) = 0,008.
p(C) = p (x ³ 1) = 1 – p(x £ 0) 1 – p ({0}) = 1 – 0,368 = 0,632.