К нахождению предела, рассмотренного в предыдущем пункте, приводит
ряд задач естествознания. Поэтому рассмотрим предел, отвлекаясь от конкретного смысла задачи.
Пусть на [ a, b ] задана произвольная функция y=f(x). Применяя для нее схему предыдущей задачи, составим сумму произведений вида
.
Такая сумма называется интегральной суммой функции f(x) на [ a, b ]. Она
зависит от способа деления [ a, b ] на элементарные части и от выбора точек
на каждой из этих частей.
Определение. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий от способа деления [ a, b ] и выбора точек , то этот предел (число) называется определенным интегралом от функции f(x) на [ a, b ] и обозначается
_____________________________
Возвращаясь к задаче о площади криволинейной трапеции, получаем
т.е. при определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
Теорема. Для любой непрерывной на [ a,b ] функции существует определенный интеграл.