Теорема сложения
Пусть - два случайных события.
Теорема сложения. Вероятность суммы двух событий или вероятность появления хотя бы одного из них равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления:
.
Для несовместных событий , поэтому теорема примет вид:
.
Для произвольного числа слагаемых:
;
Следствие.
1. Очевидно, что - вероятность суммы событий не превышает сумму вероятностей этих событий.
2. , если события попарно несовместны.
3. Если события образуют полную группу, то есть , то
.
Условная вероятность
Пусть - совместные события.
Условной вероятностью события при условии, что событие
произошло, называется число, определяемое равенством
.
Здесь и
- вероятности, причём
.
События называются зависимыми, то есть вероятность события
зависит от того, произошло или нет событие
.
Теорема умножения
Теорема умножения. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.
|
|
.
Для трех слагаемых ;
для последовательности событий
.
В последней формуле вероятность произведения событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных событий, причем вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все предыдущие уже произошли.
Независимые события
События называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, то есть
.
Для независимых событий их условные вероятности равны их безусловным вероятностям: и
.
События называются попарно-независимыми, если независимы любые два из них.
События независимы в совокупности, если они попарно независимы и независимы любые комбинации этих событий.
Для независимых событий .
Если события независимы в совокупности, то они попарно независимы, то есть любые два события
,
независимы. Обратное неверно.