Пусть – СВ с математическим ожиданием
. Рассмотрим отклонение СВ
от ее математического ожидания:
.
Отклонение СВ от ее математического ожидания называется центрированной случайной величиной
.
Математическое ожидание центрированной СВ равно 0: .
Центральным моментом k-го порядка случайной величины
называется математическое ожидание от k- той степени соответствующей центрированной случайной величины:
.
Для дискретной СВ: .
Для непрерывной СВ: .
Центральный момент 1-го порядка есть математическое ожидание и равен 0.
Дисперсия
Центральный момент 2-го порядка называется дисперсией случайной величины и обозначается
.
Или: дисперсией называется математическое ожидание от квадрата центрированной случайной величины.
Формулы для вычисления дисперсии:
дискретной СВ
;
непрерывной СВ
.
Дисперсия есть «среднее значение квадрата отклонения случайной величины
от своего среднего». Говорят, что дисперсия характеризует степень разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.
|
|
Если дисперсия СВ конечна, то число
называют среднеквадратическим отклонением случайной величины
.
Свойства дисперсии.
Все свойства дисперсии следуют из соответствующих свойств математического ожидания.
1. – дисперсия постоянной величины равна 0.
2.
3.
Пример. Найти дисперсию случайной величины
.
Решение. Найдем сначала математическое ожидание случайной величины:
.
Дисперсия случайной величины:
Асимметрия и эксцесс
Рассмотрим центральный момент 3-го порядка .
Величина называется коэффициентом асимметрии и характеризует асимметрию (или «скошенность») распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то
(кроме того, все центральные моменты нечетного порядка в этом случае равны 0).
Эксцессом СВ называется величина
,
где – центральный момент 4-го порядка,
– среднеквадратическое отклонение случайной величины
.
Число 3 вычитается потому, что для наиболее распространенного нормального распределения величина , поэтому для нормального распределения эксцесс равен 0; для кривых, более островершинных, чем кривая нормального распределения,
; для кривых, менее островершинных, чем кривая нормального распределения,
.