Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
(1)
Здесь aij – числовые коэффициенты; bi (i =1,2,..., m) – свободные члены; xj (j =1,2,..., n) – неизвестные.
Решением системы (1) является совокупность значений неизвестных xj, при подстановке которых все уравнения системы (1) обращаются в тождества.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система является несовместной.
Система (1) может быть представлена в виде матричного уравнения
AX = B,
где A – матрица, составленная из коэффициентов aij при неизвестных; матрица B представляет собой столбец свободных членов bi (i =1,2,..., m); элементами матрицы X являются неизвестные xj (j =1,2,..., n).
Если B = 0, то система уравнений называется однородной:
AX = 0.
Две системы уравнений, имеющие одинаковые множества решений, называются эквивалентными.
Очевидно, что такие операции как перестановка уравнений местами, умножение обеих частей уравнения на ненулевое число или прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число, преобразуют систему уравнений в ей эквивалентную.
|
|
Система, имеющая решения, называется совместной, не имеющая - не совместной. Если решение одно - система определённая, если не одно - неопределённая.
Метод Гаусса
Системе m линейных уравнений
(1) |
можно поставить в соответствие расширенную матрицу:
. | (2) |
Существует взаимно-однозначное соответствие между элементарными преобразованиями линейной системы и операциями над строками расширенной матрицы.
Действительно,
- Перестановка уравнений системы соответствует перестановке строк расширенной матрицы.
- Умножение уравнения на ненулевое число соответствует умножению строки на это число.
- Сложение уравнений системы соответствует сложению строк матрицы.
Решение системы (1) методом Гаусса представляет собой не что иное как преобразование расширенной матрицы к треугольному или ступенчатому виду:
, | (3) |
где опущены строки, состоящие из нулевых элементов.
Матрица такого вида соответствует более простой системе уравнений, решение которой начинается с решения последнего уравнения, затем результат подставляется в предпоследнее уравнение и т.д.
Если число неизвестных превышает число уравнений, то часть неизвестных (n-r) рассматривается в качестве свободных параметров и называются свободными переменными. Остальные r переменных выражаются через свободные и называются опорными, базовыми, определёнными, зависимыми.
Формально схема преобразований расширенной матрицы выглядит следующим образом.
- Предположим, что матричный элемент a 11 первого столбца матрицы (2) отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами первую строку этой матрицы с какой-нибудь другой.)
Для получения нулей в первом столбце матрицы (2) достаточно прибавить ко второй строке этой матрицы первую, умноженную на (- a 11/ a 12), к третьей строке - первую, умноженную на (- a 11/ a 13) и так далее.
В результате первый столбец содержит единственный отличный от нуля элемент a 11. - Затем воспроизводим алгоритм, изложенный на предыдущем этапе, применительно ко второму столбцу полученной матрицы.
Предположим, что матричный элемент a 22 второго столбца этой матрицы отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами соответствующую строку матрицы с какой-нибудь другой нижележащей.)
Для получения нулей во втором столбце рассматриваемой матрицы достаточно прибавить к третьей строке матрицы вторую, умноженную на (- a 22/ a 23), к третьей строке - первую, умноженную на (- a 22/ a 24) и так далее.
В результате второй столбец содержит единственный отличный от нуля элемент a 22. - И так далее.
- В конечном итоге мы получаем матhицу вида (3).
Примеры:
|
|
1. Решить систему уравнений методом Гаусса. Решение. Рассмотрим расширенную матрицу и приведем ее к треугольному виду, выполняя операции над строками: Полученная матрица описывает систему уравнений эквивалентную исходной системе. Решение находится элементарно: Убедимся в том, что полученный набор обращает каждое уравнение данной системы в тождество: |
***
2. Решить систему уравнений методом Гаусса. Решение. Преобразуем расширенную матрицу, производя элементарные операции над строками: Третья строка этой матрицы соответствует уравнению не имеющему решений и, следовательно, система является несовместной. |
***
3. Решить систему уравнений методом Гаусса. Решение. Производя элементарные преобразования над строками, приведем расширенную матрицу к ступенчатой форме: Выпишем соответствующую систему уравнений: Последнее уравнение содержит две переменных, одну из которых нужно рассматривать в качестве свободного параметра. Назначим этому параметру произвольное значение и выразим остальные переменные через c: Таким образом, общее решение системы имеет вид Если подставить вместо c произвольное число, например нуль, то мы получим частное решение: . Подставляя c = 2, получаем другое частное решение: . Таким образом, данная система имеет бесконечное множество решений. Проверка: Подставим и в каждое уравнение системы: Уравнения обратились в тождества. |