Определение 1. Линейное пространство E = {f, g, h, …} называется евклидовым, если
ставится в соответствие число, называемое скалярным произведением: . При этом, для выполняются аксиомы:
Имеет место
Неравенство Коши – Буняковского – Шварца:
{ }
По определению, длиной элемента называется: , а косинусом угла между двумя элементами: (В силу неравенства К – Б – Ш это определение корректно)
Отсюда легко получить, что
Примеры. 1)
Определение 2. Линейное пространство N называется нормированным, если N ставится
в соответствие число , называемое нормой элемента ,иудовлетворяющее условиям:
Свойство (3) называется неравенством треугольника, а норма есть обобщение понятия ‘длина’.
Примеры. 1) Абсолютная норма:
2) Средняя или евклидова норма:
В нормированных евклидовых пространствах косинус угла между векторами обычно записывают в виде