Оптимальне керування. Принцип максимуму Понтрягіна
Література: [5, с. 421-489], [6, с. 13-85].
Мета роботи: Навчитися застосовувати принцип максимуму Понтрягіна до знаходження оптимального керування динамічними системами.
Зміст роботи: Розв’язати запропоновану задачу пошуку оптимального керування, використовуючи принцип максимуму Понтрягіна. Скласти програму для графічного відображення поведінки системи під дією розрахованого керування однією з алгоритмічних мов.
Методичні вказівки
Основна задача. Нехай задана динамічна система
(5.1)
.................
або у векторній формі , з початковою умовою і областю допустимих керувань . Тут – -вимірний вектор, який називають фазовим, а його компоненти – фазовими координатами об’єкта, функції мають частинні похідні ( і неперервні разом з цими похідними за сукупністю своїх аргументів. Шукається таке допустиме керування і відповідна траєкторія системи (5.1), щоб для фіксованого скінченного моменту часу вираз
, (5.2)
де - задані сталі, був мінімальним.
|
|
Нехай – вектор-функція з компонентами , яка є розв’язком задачі
, , , (5.3)
або у векторній формі , , де
, , .
Система (5.3) називається приєднаною до системи (5.1).
Функція Гамільтона задач (5.1),(5.2) має вигляд
.
Тоді динамічна і приєднана системи можуть бути записані через канонічні рівняння
, , .
Теорема. Нехай – розв’язок задачі (5.1),(5.3). Тоді існує функція , яка є розв’язком приєднаної системи (5.3) з відповідною граничною умовою і така, що майже для всіх виконується умова
.
Якщо необхідно мінімізувати двічі диференційовну за всіма аргументами функцію , то в принципі максимуму Понтрягіна початкові умови для приєднаної системи треба замінити на .
Якщо ставиться задача мінімізації функціоналу , де функція задовольняє ті ж умови, що й , то функція Гамільтона визначається формулою , а приєднана система має вигляд
, , . (5.4)
Приклад 5.1. , , , , , .
Розв’язання. , , , , , тобто . Звідси . Максимум досягається при .
Умови трансверсальності. Часто у задачі (5.1),(5.2) накладаються умови вигляду , , причому вважається, що функції двічі диференційовні по всіх і якобіан має максимальний ранг . Тоді умови , задають у просторі станів деякий гладкий многовид.
Вимагається знайти таке оптимальне керування, яке переводить точку у довільну точку цього многовиду. В цьому випадку кінцеві умови для в принципі максимуму Понтрягіна потрібно замінити умовами трансверсальності
, .
Приклад 5.2. , , , , .
Розв’язання. Маємо , , , , , , , , тобто і . Звідси, максимум функції Гамільтона дає оптимальне керування . Невідомі параметри і потрібно вибрати так, щоб система переводилась у кінцеву точку . Інтегруючи рівняння стану, одержуємо
|
|
,
З умов легко записати лінійні рівняння для знаходження і : , , так що оптимальне керування має вигляд .
Аналогічно одержують умови трасверсальності для початкової точки у випадку, коли не задано, а лише вимагається, щоб ця точка задовольняла систему , . Тоді для приєднаної вектор-функції має виконуватись умова , .
Завдання для самостійної роботи
Розв’язати наведені нижче задачі. Розробити алгоритми і скласти програму для графічного відображення поведінки системи під дією розрахованого керування.
1. , , , , .
2. , , , .
3. , , , .
4. , . , , , , , .
5. , , , , .
6. , , , , , .
7. , , , , , .
8. , , , ,.
9. , , , .
10. , , , ,
, .
11. , , , , , , .
12. , , , , .
13. , , , , .
14. , , , , .
15. , , , , .
16. , , , , .
17. , , , , , , .
18. , , , , , .
19. , , , , , , .
20. , , , , , .
21. , , , , .
22. , , , , .
23. , , , , .
24. , , , .
25. , , , , .
26. , , , , .
27. , , ,
28. , , , , , .
Література
1. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. – М.: Высшая Школа, 1989. – 263 с.
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1986. – 544 с.
3. Бублик Б.Н., Кириченко Н.Ф. Основы теории управления. - К.: Вища школа, 1975. - 328 с.
4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967. - 576 с.
5. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1998. – 552 с.
6. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. – М.: Наука, 1983. – 392 с.