Пусть имеется система нелинейных уравнений:
(*)
Систему (*) удобнее записать в матричном виде:
(**)
где - вектор – функция; - вектор – аргумент.
Решение системы (*) будем искать в виде
(***)
Здесь и - векторы неизвестных на p и p + 1 шагах итераций; вектор невязок на p -ом шаге – f(p) = f (x(p)); W'p – транспонированная матрица Якоби на p – ом шаге;
;
.
Критерий остановки итерационного процесса:
Решить системы нелинейных уравнений
I.
a=1,2,3,4,5;
II.
b=0.5 (0.5) 5;I
. 1) a=1;
Графически найдем приблизительно решение системы
Из графика видно 2 решения:
Примерно (1.7; 1.5) и (-1.5; -1).
Вычисляем:
Имеем
а) Выберем начальное приближение для точки (1.7; 1.5):
По вышеприведенным формулам найдем первое приближение:
eps=0.0911
Аналогично вычисляем последующие итерации. Занесем эти результаты для наглядности в таблицу:
i | eps | ||||||
0.00801 | 0.0911 | ||||||
0.01276 | 0.0075 | ||||||
0.0484 | 0.01212 | ||||||
0.01269 | 0.00189 | ||||||
0.04935 | 0.00247 | ||||||
0.01268 | 0.00037 | ||||||
б) Выберем начальное приближение для точки (-1.5; -1):
|
|
По вышеприведенным формулам найдем первое приближение:
eps=0.04852
Аналогично вычисляем последующие итерации. Занесем эти результаты для наглядности в таблицу:
i | eps | ||||||
0.02925 | 0.04852 | ||||||
0.02575 | 0.00769 | ||||||
0.06082 | 0.00308 | ||||||
0.02603 | 0.00212 | ||||||
0.06168 | 0.00083 | ||||||
Ответ:
1 решение: ;
2 решение: ;
. 2) a=2;
Графически найдем приблизительно решение системы
Из графика видно 2 решения:
Примерно (1.3; 1.5) и (-1.1; -1.2).
Вычисляем:
Имеем
а) Выберем начальное приближение для точки (1.3; 1.5):
будем заносить все в таблицу
i | eps | ||||||
0.01585 | 0.01214 | ||||||
0.02076 | 0.00603 | ||||||
0.01596 | 0.00122 | ||||||
0.02074 | 0.00073 | ||||||
б) Выберем начальное приближение для точки (-1.1; -1.2):
будем заносить все в таблицу
i | eps | ||||||
0.02606 | 0.01355 | ||||||
0.04575 | 0.00148 | ||||||
0.02702 | 0.00003 | ||||||
Ответ:
1 решение: ;
2 решение: ;
. 3) a=3;
Графически найдем приблизительно решение системы
Из графика видно 2 решения:
Примерно (1.1; 1.6) и (-1; -1.2).
Вычисляем:
Имеем
а) Выберем начальное приближение для точки (1.1; 1.6):
будем заносить все в таблицу
i | eps | ||||||
0.01559 | 0.01126 | ||||||
0.01557 | 0.00152 | ||||||
0.01548 | 0.00029 | ||||||
б) Выберем начальное приближение для точки (-1; -1.2):
будем заносить все в таблицу
i | eps | ||||||
0.02369 | 0.0153 | ||||||
0.02822 | 0.00146 | ||||||
0.0307 | 0.00029 | ||||||
Ответ:
|
|
1 решение: ;
2 решение: ;
. 4) a=4;
Графически найдем приблизительно решение системы
Из графика видно 2 решения:
Примерно (1.1; 1.6) и (-0.8; -1.3).
Вычисляем:
Имеем
а) Выберем начальное приближение для точки (1.1; 1.6):
будем заносить все в таблицу
i | eps | ||||||
0.01138 | 0.02052 | ||||||
0.01554 | 0.0289 | ||||||
0.01206 | 0.00167 | ||||||
0.01498 | 0.00055 | ||||||
б) Выберем начальное приближение для точки (-0.8; -1.3):
будем заносить все в таблицу
i | eps | ||||||
0.02207 | 0.00353 | ||||||
0.02999 | 0.00368 | ||||||
0.02204 | 0.00013 | ||||||
Ответ:
1 решение: ;
2 решение: ;
. 5) a=5;
Графически найдем приблизительно решение системы
Из графика видно 2 решения:
Примерно (0.9; 1.7) и (-0.7; -1.3).
Вычисляем:
Имеем
а) Выберем начальное приближение для точки (0.9; 1.7):
будем заносить все в таблицу
i | eps | ||||||
0.01733 | 0.03684 | ||||||
0.01011 | 0.00098 | ||||||
б) Выберем начальное приближение для точки (-0.7; -1.3):
будем заносить все в таблицу
i | eps | ||||||
0.01893 | 0.02052 | ||||||
0.02922 | 0.00902 | ||||||
0.01824 | 0.00202 | ||||||
0.02856 | 0.0009 | ||||||
Ответ:
1 решение: ;
2 решение: ;
6 Найти собственные числа и собственные вектора матрицы:
А=
Решение
Составим характеристическое уравнение
=0
(1-
(1-