Нехай в системі координат задана точка
і ненульовий вектор
(рис.7).
рис.7.
Необхідно скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору
, що називається напрямним вектором. Довільна точка
належить цій прямій
тоді і тільки тоді, коли
. Оскільки вектор
– заданий, а вектор
, то згідно з умовою паралельності, координати цих векторів пропорційні, тобто
Співвідношення (7) називається рівнянням прямої, що проходить через задану точку у заданому напрямку або канонічним рівнянням прямої.
Звернемо увагу, що до рівняння вигляду (7) можна перейти, наприклад, від рівняння пучка прямих (4)
,
або від рівняння прямої за точкою та нормальним вектором (1)
Зауваження. Вище припускалось, що напрямний вектор – ненульовий, але може трапитись, що одна з його координат, наприклад,
. Тоді вираз (7) формально запишеться
який, взагалі кажучи, не має смислу. Однак приймають і отримують рівняння прямої перпиндикулярної осі
. Дійсно із рівності видно, що пряма визначена точкою
і напрямним вектором
, перпиндикулярним осі
. Якщо ж в цьому рівнянні звільнитись від знаменника, то отримаємо
, або
– рівняння прямої, перпендикулярної осі
. Аналогічно було б отримано
для вектора
.
|
|
Щоб перейти до параметричного рівняння прямої, прирівняємо кожен із дробів (7) до параметра . Оскільки хоча б один із знаменників в (7) відмінний від нуля, а відповідний чисельник може набувати довільні значення, то область зміни параметра
– вся числова вісь. Отримаємо
або
Рівняння (8) називається параметричним рівнянням прямої.
Приклади
1. На прямій лінії заданої рівнянням , знайти точку M(x,y), що знаходяться від точки
цієї прямої на відстані 10 одиниць.
Розв’язання. Нехай – шукана точка прямої, тоді для відстані
запишемо
. За умовою
. Оскільки точка
належить прямій
, що має нормальний вектор
, то рівняння прямої можна записати
Тоді відстань . За умовою
, або
. З параметричного рівняння
Відповідь:
2. Точка рухається рівномірно з швидкістю
в напрямку вектора
від початкової точки
. Знайти координати точки
через
с від початку руху.
Розв’язання. Спочатку знайти одиничний вектор . Його координати це напрямні косинуси
.
Тоді вектор швидкості
Канонічне рівняння прямої тепер запишется
параметричне рівняння.
Після чого скористатись параметричним рівнянням прямої при . Відповідь:
.