Нехай вектор зображає к.ч. , рис.1.5. Аргументом числа називається будь-яке із значень кута нахилу вектора до осі :
, де .
Таким чином, аргумент к.ч. набуває нескінченну множину значень. Аргумент числа не визначається.
Рис. 1.5
Найменше за абсолютною величиною значення (тобто значення з інтервалу ) називається головним значенням аргументу к.ч. і позначається , тому , .
Приклади.
1) Використовуючи рис. 1.6, легко переконатись, що
Рис. 1.6
2) Для довільного маємо . Пропонуємо довести цю тотожність самостійно.
Обчислення аргументу
Спочатку відмітимо властивість:
1) Аргумент дійсного і чисто уявного числа: якщо , то
2) Аргумент будь-якого числа можна знаходити за формулою:
(1.1)
Доведемо останню формулу у випадку, коли зображується точкою в другій чверті (рис.1.7). З . Оскільки , то
Рис 1.7
Інші випадки розміщення числа на площині розглядаються аналогічно.
Зауважимо, що вказаним способом для аргументу можна одержати формули, в яких використовуються арккотангенс, арккосинус чи арксинус.
Якщо не вимагається високої точності, то аргумент к.ч. можна знаходити графічно. З цією метою слід побудувати к.ч. на міліметровому папері і виміряти відповідний кут за допомогою транспортиру. Цей спосіб іноді використовують для грубої перевірки обчислень.
Приклад 1. Покажемо, як обчислюють аргументи чисел за допомогою формул цього пункту.
, (застосована формула (1.1), чверті);
, (формула (1.1), чверті);
, (формула (1.1), чверті);
, (формула (1.1), чверті);
Приклад 2. Достатньо встановити знаки дійсної і уявної частин к.ч., щоб перевірити рівності:
,
.