Задача 1. Найти оригинал функции.
№ | Условие | Ответ |
1.1 | ||
1.2 | ||
1.3 | ||
1.4 | ||
1.5 | ||
1.6 | ||
1.7 | ||
1.8 | ||
1.9 | ||
1.10 |
Задача 2. Операционным методом решить дифференциальное уравнение.
№ | Условие | Ответ |
2.1. | , | . |
2.2 | , | . |
2.3 | , | . |
2.4 | , | . |
2.5 | , | . |
2.6 | , . | . |
2.7 | , | . |
2.8 | , . | . |
2.9 | , | . |
2.10 | , | . |
Задача 3. Операционным методом решить систему дифференциальных уравнений.
№ | Условие | Ответ |
3.1. | ||
3.2 | ||
3.3 | ||
3.4 | ||
3.5 | ||
3.6 | . | |
3.7 | ||
3.8 | ||
3.9 | ||
3.10 |
Теория вероятностей
Задача 4. В налоговую инспекцию за один день поступило n платежей, из них m налоговых платежей (остальные - не налоговые). Наудачу отобрали k платежей. Определить вероятность того, что среди них s налоговых платежей.
Вариант | ||||||||||
n m k s |
Задача 5. В двух партиях процентов качественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:
|
|
1) два бракованных; 2) ни одного бракованного; 3) одно бракованное; 4) хотя бы одно бракованное изделие.
Вариант | ||||||||||
k1 k2 |
Задача 6. В квадрат с вершинами (0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2) наудачу брошена точка М. Координаты точки обозначим (х, у). Найти вероятность события А, если А – область, координаты точек которой удовлетворяют указанному неравенству. Предполагается, что вероятность попадания в область, лежащую целиком внутри квадрата, зависит лишь от площади этой области и пропорциональна ей.
Вариант | Событие А | Вариант | Событие А |
Задача 7. На автозаправочную станцию поступает бензин от трех компаний, причем i -я компания поставляет ki % бензина (i =1,2,3), из которого mi% доброкачественного. Для лабораторных исследований сделали закупку бензина. Он оказался некачественным. Определить наиболее вероятного поставщика некачественного бензина.
Вариант | ||||||||||
k1 k2 k3 m1 m2 m3 |
Задача 8. Доля елей в питомнике, имеющих нетоварный вид, составляет а %. Случайным образом отбирается п ёлок. Какова вероятность того, что число ёлок, имеющих нетоварный вид, окажется не более k?
Вариант | ||||||||||
а п k |
Задача 9. В городском казначействе правильно оформленные платёжные поручения составляют a%. Какова вероятность того, что из n платёжных поручений число правильно оформленных окажется не менее и не более ? Найти наивероятнейшее число правильно оформленных платёжных поручений и вычислить соответствующую вероятность.
|
|
Вариант | ||||||||||
a n |
Задача 10. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна р. Поступило п вызовов. Определить вероятность: 1) k сбоев; 2) не более k сбоев.
Вариант | ||||||||||
р п k | 0,006 | 0,01 | 0,01 | 0,01 | 0,01 | 0,01 | 0,01 | 0,01 | 0,01 | 0,01 |
Задача 11. (варианты 1–20) Дана дискретная случайная величина Х. Составить закон её распределения. Найти:
1) функцию распределения F(x), построить её график;
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение s(Х).
Построить полигон данного распределения.
11.1. Имеется десять билетов в театр, семь из которых - на места в партере. Наудачу взяли три билета. Случайная величина Х - число билетов в партер.
11.2. Вероятность отказа детали за время испытания на надёжность равна 0,1. Случайная величина Х - число отказавших деталей среди трёх испытываемых.
11.3. В билете три задачи. Вероятность правильного решения студентом первой задачи равна 0,9, второй - 0,8, третьей - 0,7. Случайная величина Х - число правильно решенных задач в билете.
11.4. В пачке 20 накладных, 6 из которых оформлено неправильно. Наудачу взяли четыре накладные. Случайная величина Х - число накладных, оформленных неправильно.
11.5. В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Случайная величина Х - число таких договоров среди наудачу выбранных четырёх.
11.6. Вероятность того, что брокер заключит сделку с фирмой, равна 0,5. Случайная величина Х - число заключённых сделок с тремя фирмами.
11.7. Вероятность того, что сотрудник фирмы получит зарплату выше 500 усл.ед. равна 0,3. Отобрали трёх сотрудников. Случайная величина Х - количество среди отобранных сотрудников, получивших зарплату выше 500 усл.ед.
11.8. В коробке 15 конфет, 7 из которых - с коньяком. Случайная величина Х - число конфет с коньяком среди четырёх взятых.
11.9. Рабочий обслуживает два станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,8. Для второго станка эта вероятность равна 0,9. Случайная величина Х - число станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.
11.10. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую сотую единицу товара приз размером 10 рублей. Случайная величина Х - размер выигрыша при трёх сделанных покупках.
Задача 12. Непрерывная случайная величина Х - энергозатраты (усл. ед.) нескольких предприятий РАО ЕС - задана функцией распределения F(x). Найти: 1) плотность распределения вероятностей f(х); 2) математическое ожидание М(Х); 3) дисперсию D(Х) и среднеквадратическое отклонение s(Х); 4) вероятность попадания значения случайной величины Х в заданный интервал (а,b). Дать экономическое истолкование полученных числовых характеристик. Построить графики функций F(x) и f(x).
12.1 F(x) = а = 1, b = 3.
12.2 F(x) = а = 0, b = 1.
12.3 F(x) = а = 1, b = 3.
12.4 F(x) = а = 0, b = 2.
12.5 F(x) = , а = 1, b = 3.
12.6 F(x) = а = 0, b = 1
12.7 F(x) = а = 1, b = 3.
12.8 F(x) = а =0, b = 4.
12.9 F(x) = а = 1, b = 2,5.
12.10 F(x) = а = 1, b = 3.
Задача 13. Цена некой акции есть случайная величина, распределённая по нормальному закону. Средняя цена акции (математическое ожидание) равна а усл.ед., среднее квадратическое отклонение - s усл.ед. Найти:
1. вероятность того, что цена акции не ниже a усл.ед. и не выше b усл.ед.;
2. вероятность того, что цена акции ниже a усл.ед.;
3. вероятность того, что цена акции выше b усл.ед.;
4. вероятность того, что цена акции отклонится от средней цены не больше, чем на d усл.ед.;
|
|
5. интервал, симметричный относительно математического ожидания, в границах которого стоит ожидать цену акции с надёжностью g.
Вариант | ||||||||||
а s a b d g | 2,5 0,9 | 2,4 0,95 | 3,3 0,97 | 1,6 0,99 | 1,5 0,97 | 1,2 0,99 | 3,2 0,95 | 7,5 0,9 | 1,4 0,99 | 3,5 0,9 |