Неопределенный интеграл и его свойства

Определение

Пусть функции f(x) и F(x) определены на (a;b). Если функция F(x) имеет производную на (a;b) и для всех х из этого интервала выполняется равенство (1), то функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a;b).

Теорема

Если определенная на интервале (a;b) функция f(x) имеет на нем хотя бы одну первообразную F(x), то она имеет на этом интервале бесконечное множество первообразных, элементами которого являются функции F(x)+С, и только они.

Пример.

Каждая из функций , где С – произвольное действительное число, является первообразной для функции на R.

Из теоремы очевидно, что при любом действительном С график функции F(x)+С получается из графика функции F(x) путем параллельного переноса последнего на величину С вдоль оси ординат.

Таким образом, теорема утверждает, что вся совокупность графиков первообразных функции f(x) получается из одного из них путем всевозможных параллельных переносов этого графика вдоль оси ординат.

Определение.

Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на интервале (a;b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале.

Обозначается:

Функция f(x) называется подынтегральной, знак называется знаком интеграла, а выражение, записываемое справа от него: f(x)dx – подынтегральным выражением.

Нахождение неопределенного интеграла от функции f(x), заданной на некотором интервале , называется интегрированием.

В соответствии с определением и теоремой выше, можно записать:

Если первообразная (а значит, и неопределенный интеграл) для функции f(x) на интервале (a;b) существует, то подынтегральное выражение представляет собой дифференциал любой из этих первообразных.

Пусть F(x) – некоторая первообразная на (a;b), т.е. для любого х из (a;b) выполняется , тогда (3)