1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения I порядка .
Решение:
Правая часть уравнения обладает свойством . Поэтому заданное уравнение является однородным дифференциальным уравнением I порядка. Совершим замену , где - некоторая функция от аргумента х. Отсюда . Исходное уравнение приобретает вид .
Продолжаем преобразования: ; .
Производим разделение переменных: .
После интегрирования обеих частей уравнения получаем
;
.
Таким образом ; .
Потенцируя, находим или ; .
Итак, общий интеграл исходного уравнения приобретает вид
, где С – произвольная постоянная.
2. Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами:
а)
б)
в)
Решение:
а) Для заданного дифференциального уравнения составим соответствующее характеристическое уравнение по принципу: . Решаем полученное квадратное уравнение и получаем два вещественных разных корня .
Т.к. , то общее решение данных уравнений записывается в виде . В нашем случае , где - произвольные постоянные.
Отсюда , .
Используя начальные условия : , т.е. .
Из того что следует , т.е. , .
Решая систему уравнений , получаем .
Теперь в наше общее решение подставим найденные значения . Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, приобретает вид .
б) Для заданного дифференциального уравнения составим соответствующее характеристическое уравнение по принципу: . Решаем полученное квадратное уравнение и получаем два равных вещественных корня .
Т.к. , то общее решение данных уравнений записывается в виде . В нашем случае , где - произвольные постоянные.
Отсюда , .
Учитывая начальные условия, получаем систему уравнений для определения : . Решая систему, получаем .
Искомое частное решение имеет вид:
в) Для заданного дифференциального уравнения составим соответствующее характеристическое уравнение . Решая это уравнение, убеждаем, что оно не имеет вещественных корней.
В этом случае общее решение соответствующего дифференциального уравнения записывается в виде , где - коэффициенты характеристического уравнения).
У нас поэтому общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид .
Отсюда .
Таким образом, для определения значений исходя из начальных условий, получаем систему уравнений ,
решая которую имеем .
Итак, искомое частное решение приобретает вид
Комплексные числа
1. Построить на координатной плоскости числа Z1, Z2, где Z1=3-2i, Z2=-1+i.
Решение
На координатной плоскости изобразим точки (3; -2), (-1; 1) и соединим их с началом
координат, получив векторы, конечными точками которых являются заданные точки.