Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РЕСПУБЛИКИ КАЗАКСТАН

КАЗАХСКИЙ АГРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Им. С.СЕЙФУЛЛИНА

ВОПРОСЫ К РУБЕЖНОМУ КОНТРОЛЮ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКА 1

Методические указания

(для студентов 1 курса дневного отделения)

Астана –2013

Рассмотрено и одобрено «Утверждаю»

к изданию на заседании Председатель МС АО

методического совета АО «Казахский агротехнический

«Казахский агротехнический университет им. С. Сейфуллина»

университет им. С. Сейфуллина» _____________ Е.Т. Тазабекова Протокол №____

«___» ________________201_. «___» _______________201_

Авторы:Акжигитов Е.А., Такабаев К.К., Тілепиев М. Ш. Ильясова Б.А., Грипп Е.А., Кадирбаева Ж.М.

Методические указания составлены в соответствии с требованиями учебного плана и прогаммой дисциплины.

Рецензент:

Ә.Ж. Асқарова– кандидат физико –математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» АО «Казахский агротехнический университета им.С. Сейфуллина»

Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры «Высшая математика» Протокол № 5 «18» қаңтар 2013 г.

Рассмотрено и рекомендовано на заседании методической комиссии факультета КСиПО Протокол № 5 «18» қаңтар 2013 г.

@ АО «Казахскийагротехнический университет им.С. Сейфуллин», 2013г.

Введение

Настоящий сборник задач является своеобразным тренажером для подготовки к различным рубежным контрольным мероприятиям по дисциплине «Математика 1» для студентов всех специальностей, обучающихся в первом семестре первого курса.

Материал первого семестра разделен на два модуля: «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии» и «Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной». По каждому из этих модулей студент должен выполнить расчетно-графическую работу (РГР). Каждый модуль завершается сдачей рубежного контроля, который разработан на основе базисных (опорных) вопросов и задач. Эти задачи являются ключевыми задачами для решения большинства задач курса «Математика 1».

Каждый вариант рубежного контроля рассчитан на 50 минут времени.

Рубежный контроль 1

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1. Определение: матрица, размерность матрицы, равные матрицы.

2. Виды матриц: матрица-строка, матрица-столбец, квадратная матрица, диагональная, единичная, симметричная, треугольная, нулевая матрица.

3. Операции над матрицами: умножение матриц, сложение матриц, вычитание матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матриц.

4. Определители квадратных матриц: второго, третьего и произвольного порядков, их вычисление. Минор и алгебраическое дополнение элемента. Свойства определителей. Терема Лапласа (разложение определителя по элементам строки или столбца).

5. Обратная матрица. Вырожденная и невырожденные матрицы. Присоединенная матрица. Нахождение обратной матрицы методом присоединенной матрицы.

6. Векторные величины. Нулевой вектор, длина вектора. Компланарные, коллинеарные сонаправленные, противоположные, единичные векторы.

7. Линейные операции над векторами: сложение, вычитание, умножение вектора начисло.

8. Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и независимые векторы.

9. Базис. Декартовая система координат, радиус-вектор, координаты вектора.

10. Действия над векторами, заданными своими координатами: сложение, вычитание, умножение вектора на число; условие коллинеарности двух векторов.

11. Длина вектора. Расстояние между двумя точками на плоскости и в пространстве.

12. Деление отрезка в данном отношении. Деление отрезка пополам.

13. Определение скалярного произведения. Угол между векторами.

14. Свойства скалярного произведения: скалярный квадрат, переместительный и распределительный законы, условие перпендикулярности (ортогональности) векторов.

15. Скалярное произведение векторов в координатной форме.

16. Условие перпендикулярности векторов в координатной форме.

17. Угол между векторами в координатной форме.

18. Векторное произведение. Определение, свойства.

19. Векторное произведение в координатной форме. Площадь параллелограмма, треугольника.

20. Смешанное произведение трех векторов. Свойства. Условие компланарности трех векторов. Объем параллелепипеда, пирамиды.

21. Ранг матрицы.

22. Системы линейных алгебраических уравнений и их исследование. Совместность и несовместность системы алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

23. Правило Крамера. Матричный способ решения систем линейных уравнений.

24. Метод Гаусса решения произвольных систем линейных уравнений.

25. Уравнение линии на плоскости.

26. Общее уравнение прямой линии на плоскости. Частные случаи (исследование общего уравнения прямой линии на плоскости).

27. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.

28. Уравнение прямой линии, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

29. Уравнение прямой линии, проходящей через данную точку параллельно данному вектору (направляющий вектор).

30. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

31. Уравнение прямой линии в отрезках.

32. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

33. Расстояние от точки до прямой линии.

34. Окружность и её каноническое уравнение. Центр, радиус окружности.

35. Эллипс и его каноническое уравнение. Эксцентриситет, фокусы эллипса.

36. Гипербола и её уравнение. Эксцентриситет, фокусы и асимптота гиперболы.

37. Парабола и её уравнения. Эксцентриситет, фокус, директриса параболы.

38. Общие уравнения плоскости. Частные случаи.

39. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

40. Уравнение плоскости в отрезках.

41. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

42. Расстояние от точки до плоскости.

43. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору.

44. Угол между двумя прямыми линиями. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых линий..

45. Угол между прямой линией и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

46. Комплексные числа. Мнимая единица.

47. Модуль и аргумент комплексного числа.

48. Тригонометрическая форма комплексного числа.

49. Показательная форма комплексного числа.

50. Алгебраические операции над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.

Тест 1.

Для заданий 1-3 задан определитель: .

Задание 1. Вычислите этот определитель.

Задание 2. Найти минор элемента

Задание 3. Найти алгебраическое дополнение элемента

Для заданий 4-9 заданы координаты точек

А(-4, 6, 3), В(-5, -2, 6), C(1, 1, -2):

Задание 4. Найдите координаты вектора .

Задание 5. Чему равна длина вектора

Задание 6. Найдите координаты середина отрезка

Задание 7. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки

и .

Задание 8. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки

Задание 9. Чему равно расстояние от точек до плоскости

Для заданий 10-15 приведены координаты векторов:

Задание 10. Найдите длину вектора

Задание 11. Чему равно скалярное произведение векторов и

Задание 12. Чему равен косинус угла между векторами и

Задание 13. Чему равно векторное произведение векторов и

Задание 14. Найдите площадь треугольника, построенного на векторах

и

Задание 15. Найдите объем пирамиды, построенной на векторах

и

Для заданий 16-20 даны матрицы:

, ,

Задание 16. Найти произведение матриц .

Задание 17. Запишите систему уравнений

Задание 18-20 Решите полученную алгебраическую систему линейных уранений из задания 17