Сложные суждения и его виды. Исчисление высказываний

Общая характеристика сложных суждений была дана в предыдущем параграфе, когда речь шла о простых суждениях. Теперь мы рассмотрим основные виды сложных суждений, которые образуются из простых суждений с помощью логических связок: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания.

Соединительным суждением(конъюнкция) называется суждение, в котором утверждается или отрицается принадлежность предмету нескольких совместимых признаков. Например: «Город Одесса находится на берегу моря и является портом». Под конъюнкцией, или логическим умножением, понимается логическая операция, соединяющая два или более высказываний при помощи союза «и», «а», «но», «да», «,» в новое, сложное высказывание. Его истинность зависит от истинности исходных высказываний.

По количеству соединительные суждения могут быть единичными («Доклад был коротким, интересным и содержательным»), частными («Некоторые одесситы успешно работают и хорошо воспитывают своих детей») и общими («Все студенты-заочники трудятся на производстве и учатся в вузе»).

Формула соединительного (конъюнктивного) суждения: А Λ В, где А, В – члены высказывания, а знак «Λ» обозначает союз «и», «а», «но», «да», «,».

Например, «Доклад был коротким, интересным и содержательным». В данном суждении один субъект (S) «доклад» и три предиката (Р₁, Р₂, Р₃) «короткий, интересный и содержательный».

Сложное суждение можно представить в виде трех простых суждений:

Доклад был коротким. Доклад был интересным. Доклад был содержательным.

(S есть Р₁) (S есть Р₂) (S есть Р₃).

Предикаты разделены союзом «и» и запятой, которые в символической записи конъюнкции обозначается знаком «Λ». Поэтому между полученными простыми суждениями в составе сложного суждения ставим знаки «Λ»:

(S есть Р₁) Λ (S есть Р₂) Λ (S есть Р₃)

Содержание каждой скобки, заменяя латинской буквой, получим: АΛВΛС.

Сложное конъюнктивное высказывание истинно тогда и только тогда, когда каждое из исходных высказываний истинно, и ложно, когда по крайней мере одно из исходных высказываний ложно. Например, торговый агент, исследующий спрос на рынке, направляет руководству фирмы доклад, состоящий из ряда высказываний. Истинность его информации, естественно, будет зависеть от истинности исходных высказываний (о ценах, спросе, предложении и т.п.). Если хоть одно из исходных суждений окажется ложным, весь доклад ставится под сомнение. Например. «Наша фирма кредитоспособна (А) и конкурентоспособна (В)» будет истинным в том и только в том случае, если оба суждения А (о кредитоспособности) и В (о конкурентоспособности) истинны. Если же А ложно или В ложно, либо и А, и В ложны, то все утверждение обращается в ложь, т.е. фирма не оправдывает такой характеристики.

Разделительным суждением(дизъюнкция) называется суждение, в котором выражается знание того, что данному предмету присущ (не присущ) только один признак из числа указываемых в суждении. Пример: «Данное коническое сечение или круг, или эллипс, или парабола, или гипербола», «Предприятие разорилось либо вследствие плохой организации производства, либо по причине серьезных финансовых затруднений». Дизъюнкцией называется логическая операция, состоящая в соединении двух или более высказываний при помощи логических союзов «или», «либо» в новое сложное суждение. Союз «или» может иметь двоякий смысл: «или» как противопоставление одного другому в такой степени, что одно исключает другое («Эта электричка пойдет в Колосовку или отправится в тупик, т.е. будет стоять»); «или» как допущение и одного, и другого, даже как частичное совпадение первого и второго. («Меткий стрелок обладает острым зрением или твердой рукой»). В зависимости от этих двух значений союза «или» получаем два вида дизъюнкции.

Строгая дизъюнкция – такое разделительное суждение, в котором входящие в него суждения связаны логическим союзом «или», имеющим исключительное, можно сказать, дихотомическое значение: «Этот предмет или белый, или небелый». Формула строгой дизъюнкции: A V В, где А и В – члены высказывания, V – союзы «или», «либо».

Строгая дизъюнкция истинна тогда, когда истинно лишь одно из двух простых суждений. Когда же А и В одновременно истинны или одновременно ложны, тогда сложное высказывание является ложным. Например. «Директор отправится на юг на поезде (А) или полетит на самолете (В)». Он не может одновременно воспользоваться двумя видами транспорта.

Нестрогая дизъюнкция – такое разделительное суждение, в котором входящие в него суждения связаны логическим союзом «или», имеющим неисключительное значение («или А, или В, или то и другое вместе»). Здесь истинность одного высказывания не отрицает истинности другого. Примеры: «Студенты добиваются хороших показателей в учебе или прилежанием, или систематическим повторением пройденного», «Бизнесмен добивался финансового успеха или экономией денег, или выгодным помещением их в банки». Такую дизъюнкцию называют соединительно-разделительной. Ее формула: AVВ, где А и В – члены высказывания, V - союз «или».

Нестрогая дизъюнкция истинна тогда, когда хотя бы одно простое суждение истинно. Например, «Увеличение рентабельности достигается путем повышения производительности труда (А) или путем снижения себестоимости продукции (В)». Данное высказывание истинно в случае истинности хотя бы одного из двух суждений.

Условным суждением (импликация) называется суждение, в котором отображается зависимость явления от определенных условий и в котором основание и следствие соединяются посредством логического союза «если..., то…». Примеры: «Если тело подвергнуть трению, то тело начнет нагреваться», «Если регулируемые цены отпустить, они будут зависеть от спроса и предложения». Формула условного суждения: «Если А есть В, то С есть Д». Основание (антецедент) суждения – это его часть от частицы «если» до частицы «то». Следствие (консеквент) суждения – это его часть после частицы «то». Связка («если..., то») свидетельствуют о наличии отношения между основанием и следствием.

Формула импликации: А→В, где А – антецедент, В – консеквент, а знак «→» свидетельствует об отношении между А и В.

Импликация истинна всегда, кроме случая, когда первое суждение истинное, а второе ложно. Например: «Если ограничить выпуск денежной массы в обращение, инфляция сократится». Действительно, не может быть, чтобы выпуск денежной массы в обращение был ограничен (А), т. е. суждение истинно, а инфляция не сократилась, т. е. суждение (В) было ложным.

Суждением эквиваленции называется суждение, в котором исходные высказывания соединяются между собой логическим союзом «если и только если..., то», «тогда и только тогда, когда…». Примеры: «Если и только если треугольник равносторонний, то он и равноугольный», «Фирма купит товар тогда и только тогда, когда будет снижена цена этого товара на 15%».

Формула эквивалентных суждений: Если А, то В, и если В, то А. Формула эквиваленции: А↔В, где А и В – члены высказывания, знак «↔» свидетельствует об отношении между А и В.

Суждения эквиваленции в отличие от импликативных можно «обернуть, т.е. поменять местами. Например: «Если число делится на два, то оно четное» и «Если число четное, то оно делится на два»; «Если сегодня четверг, то завтра пятница» и «Если завтра пятница, то сегодня четверг». От изменения позиций антецедента и консеквента истинность суждения не изменится.

Эквиваленция истинна когда оба суждения истинны или оба ложны.

Сложное отрицательное суждение характеризуется так: если А истинно, то его отрицание ложно, и если А – ложно, то Ā – истинно. Например, высказывание «Десять – четное число» истинно, поэтому его отрицание «Неверно, что десять – четное число» ложно.

С помощью таблиц истинности для любого сложного высказывания можно определить, при каких значениях истинности входящих в него простых высказываний это высказывание истинно.

Логика высказываний – это определенная совокупность формул, т.е. сложных высказываний, записанных на специально сконструированном искусственном языке. Язык логики высказываний включает:

1) неограниченное множество переменных: А, В, С, …., представляющих высказывания;

2) особые символы для логических связок: Λ, V, →, ↔, ^–;

3) скобки, играющие роль знаков препинания обычного языка.