Построение линий в полярной системе координат.
Построение на плоскости линий, заданных параметрически
1. Цель работы
Приобретение умений построения линий в полярной системе координат и линий, заданных параметрически, в том числе и средствами программы MathCAD.
2. Содержание работы
1) Постройте заданные точки в полярной системе координат (табл. 1). Решение оформите в тетради.
2) Определите вид кривых (табл. 2, задания А и Б) и постройте их в полярной системе координат. Решение оформите в тетради.
3) Определите вид кривой (табл. 3, задание А) и постройте ее в декартовой прямоугольной системе координат. Решение оформите в тетради и сдайте на проверку.
3) Используя программу MathCAD, постройте линию в полярной системе координат (табл. 2, задание В) и в декартовой прямоугольной системе координат (табл. 3, задание Б). Выполненное задание отчитайте преподавателю.
3. Общие сведения и примеры выполнения заданий
Зафиксируем на плоскости точку О и назовем ее полюсом. Из полюса проведем полуось Op, на которой выберем масштаб и назовем ее полярной полуосью. Такая совокупность называется полярной системой координат на плоскости.
Положение произвольной точки М на плоскости однозначно определяется двумя числами: r =| OM |, называемое полярным радиусом точки М () и j, называемое полярным углом точки М ( или ) (рис. 1).
Рис. 1
Числа r и j, взятые в указанной последовательности, называются полярными координатами точки М. Обозначение: М (r; j).
Полярный радиус точки О равен нулю, а ее полярный угол не определен.
На практике обычно приходится решать обратную задачу: по данным полярным координатам построить точку, причем в этом случае координаты не всегда удовлетворяют ограничениям для r и j. Если угол j принимает отрицательные значения, то он отсчитывается от полярной полуоси в отрицательном направлении (по часовой стрелке), а если его значение превышает по модулю 2p, то следует сделать нужное количество полных оборотов, чтобы упростить. Если r принимает отрицательные значения, то после поворота полярной полуоси на угол j для построения точки М надо отложить отрезок длиной | r | на продолжении полярной полуоси за полюс.
Пример 1. Постройте точки , , и в полярной системе координат. Решение показано на рис. 2.
Рис. 2
Для построения кривой, заданной в полярных координатах уравнением r = r (j), необходимо составить таблицу значений j и r в нескольких характерных точках, изучить поведение переменной r при переходе от одной точки к другой и соединить эти точки плавной линией.
Пример 2. Постройте кардиоиду .
Решение. Так как полярный угол входит в уравнение только как аргумент тригонометрической функции косинус с периодом 2p, то достаточно рассмотреть значения j от 0 до 2p. Составим таблицу:
j | p | ||||
r | 1,7 | 0,3 | |||
Точка | М 1 | М 2 | М 3 | М 4 | М 5 |
Нанесем полученные точки на чертеж (рис. 3).
Рис. 3
Легко видеть, что при повороте полярного радиуса ОМ 1 против часовой стрелки точка М движется по нему, приближаясь к полюсу и последовательно занимая положения М 1, М 2, М 3, М 4, М 5. В силу четности функции косинус при повороте ОМ 1 по часовой стрелке движение точки М будет таким же. Соединяя точки плавной кривой, получаем кардиоиду (рис. 4).
Рис. 4. Кардиоида
Замечание. 1) Уравнения , , также задают кардиоиду, но расположенную иначе (рис. 5).
2) Уравнения , , где а – некоторое число, задают кардиоиды аналогичные рис. 5.
а) б) в)
Рис. 5. Кардиоиды
Пример 3. Постройте спираль Архимеда r = a j, где a > 0.
Решение. Составим таблицу:
j | p | 2p | ||||
r | а | а | а p | а | а 2p | |
Точка | О | М 1 | М 2 | М 3 | М 4 | М 5 |
Нанесем точки на чертеж и соединим их плавной линией (рис. 6).
Рис. 6. Спираль Архимеда r = a j, a > 0
Ясно, что при дальнейшем повороте полярного радиуса ОМ точка М будет неограниченно удаляться по нему от полюса.
Пример 4. Постройте трехлепестковую розу .
Решение. Составим таблицу:
j | p | ||||||
r | –1 | ||||||
Точка | М 1 | М 2 | М 3 |
Если нанести на чертеж только эти точки, то непонятно, какой кривой их соединить. Изучим поведение функции r при изменении j от 0 до . При этом sin 3j, а значит и r, монотонно растет от 0 до 1. Значит, при повороте полярного радиуса точка М удаляется по нему от точки О до точки М 1. При дальнейшем повороте точка приближается по полярному радиусу от М 1 к 0, затем переходит через точку О на продолжение полярного радиуса и удаляется до точки М 2, затем снова приближается до О и удаляется до М 3, снова возвращаясь к 0. Получаем кривую, изображенную на рис. 7, а.
Замечание. 1) Уравнение также задает трехлепестковую розу, но повернутую на угол по часовой стрелке (рис. 7, б).
2) Уравнения , , где а – некоторое число, задают трехлепестковые розы других размеров, но той же формы.
а) б)
Рис. 7. Трехлепестковые розы
Пример 5. Постройте четырехлепестковую розу: а) , б) .
Решение показано на рис. 8. Точки М 1, М 2, М 3, М 4, М 5 соответствуют значениям .
Замечание. Уравнения , , где а – некоторое число, задают четырехлепестковые розы других размеров, но той же формы.
а) б)
Рис. 8. Четырехлепестковые розы
Пример 6. Постройте окружность , где a > 0.
Решение. Составим таблицу:
j | p | ||||||||
r | а | – а | |||||||
Точка | М 1 | М 2 | М 3 | М 4 | М 5 | М 6 | М 7 | М 8 | М 9 |
Соединяя точки плавной кривой, получаем окружность (рис. 9). Если придать аргументу j значения от p до 2p, то точка М пробегает эту окружность еще раз.
Рис. 9. Окружность , где a > 0
Замечание. Уравнения , , , где а > 0, задают окружности, показанные на рис. 10.
а) б) в)
Рис. 10. Окружности
Функциональная зависимость между двумя величинами не всегда задается в явном виде формулой . Одним из видов неявного задания функции является параметрическое. В этом случае величины х и у задаются как некоторые функции параметра t: При этом каждому значению t 0 параметра t из общей области определения функций x (t) и y (t) соответствуют определенные значения x 0 = x (t 0) и y 0 = y (t 0).
Для того, чтобы лучше понять, как задается эта функциональная зависимость, можно представить себе параметр t как время, а переменные х и у – как координаты движущейся точки М. При этом в момент времени t 0 точка М занимает положение M (x 0; y 0), где x 0 = x (t 0), y 0 = y (t 0).
Вообще говоря, параметр t может иметь совсем другой смысл, например, угла, длины дуги и т.д.
Для построения графика параметрически заданной функции надо найти значения x, y при некоторых фиксированных значениях параметра t и посмотреть, как меняются значения x и y.
Пример 7. Постройте астроиду
Решение. Так как косинус и синус – периодические функции с периодом 2p, то достаточно построить график при t Î [0; 2p], т.к. при остальных значениях параметра t эта кривая будет проходиться точкой М повторно.
Пусть t 1 = 0, тогда x 1 = cos30 = 1, y 1 = sin30 = 0 и мы получим точку М 1(1; 0). При имеем: , , М 2(0; 1). Как движется точка М при переходе от М 1 к М 2? Когда t меняется от 0 до , то cos t (а вместе с ним и x = cos3 t) непрерывно уменьшается от 1 до 0, а sin t (а вместе с ним и y = sin3 t) непрерывно увеличивается от 0 до 1, т.е. точка М движется от М 1 влево и вверх к точке М 2 по непрерывной кривой. Для уточнения ее формы возьмем несколько значений , нанесем соответствующие значения x и y на график и соединим их плавной линией. Аналогично построим оставшуюся часть астроиды (рис. 11).
Рис. 11. Астроида
Замечание. Уравнения , где а, b > 0 – некоторые числа, задают астроиды других размеров. В первом случае форма сохраняется, а во втором случае астроида сжата к оси абсцисс, если a > b и сжата к оси ординат, если b > a.
Пример 8. Постройте циклоиду
Решение. При t 1 = 0 получаем М 1(0; 0). При получаем . При t 3 = p получаем М 3(p; 2). Если t изменяется от 0 до , то точка М переходит из М 1 в М 2, двигаясь вправо и вверх, а если t изменяется от до p, то точка М переходит из М 2 в М 3, двигаясь вправо и вниз по непрерывной кривой. Для уточнения ее формы возьмем несколько значений t. Нанося полученные точки и соединяя их плавной линией, получим дугу, которая называется одной аркой циклоиды. Если продолжить строить точки, то получим общий вид циклоиды (рис. 12).
Рис. 12. Циклоида
Указание. Уравнения где а > 0 – некоторое число, задают циклоиду другого размера, но такой же формы.
Пример 9. Постройте эллипс где a, b > 0 – некоторые числа.
Решение. Так как функции косинус и синус имеют период 2p, то достаточно построить график при t Î [0; 2p].
При t 1 = 0 получаем М 1(а; 0). При получаем М 2(0; b). При изменении t от 0 до точка М переходит из М 1 в М 2, двигаясь влево и вверх по непрерывной кривой. Для уточнения ее формы возьмем несколько значений , нанесем соответствующие точки (x; y) на график и соединим их плавной линией. Аналогично рассуждая, достроим эллипс. При a > b эллипс сжимается к оси абсцисс (рис. 13), а при a < b он сжимается к оси ординат.
Рис. 13. Эллипс где a > b
Указание. При a = b получаем параметрические уравнения окружности с центром в начале координат и радиусом а:
***
Настройка окон программы MathCAD для построения линий в полярной и декартовой системах координат:
· На главной панели инструментов Math нажмите на кнопки , и (если главной панели инструментов на экране нет, то V iew ® Toolbars ® M ath). Первая кнопка открывает панель Calculator, вторая – панель Graph, а третья – панель Greek Symbol.
Для построения линий в полярной и декартовой системах координат:
· Введите уравнения линий, используя, если нужно, панель Calculator. Образец для линии в полярной системе координат: r(j):=5×cos(j), где j находится на панели Greek Symbol. Образец для линии, заданной параметрически: . Знак присваивания «:=» вводится с клавиатуры нажатием комбинации клавиш Shift+«:».
· Нажмите на нужную кнопку или на панели Graph, первая из которых используется для построения линий в полярной системе координат, а вторая – для построения линий, заданных параметрически, в декартовой прямоугольной системе координат.
· В появившемся шаблоне заполните все поля как показано на примере.
· Щелкните на свободном поле.
· При необходимости увеличьте размер рисунка, потянув мышкой за правый нижний уголок рамки.
· Для получения на рисунке координатных осей двойным щелчком мыши по графику вызовите окно параметров Formatting Currently Selected Polar Plot и на вкладке Polar Axes / X-Y Axes выберите стиль осей Crossed ® OK.
4. Индивидуальные задания
Таблица 1
№ вар. | Задание | № вар. | Задание |
, , | , , | ||
, , | , , | ||
, , | , , |
Продолжение табл. 1
№ вар. | Задание | № вар. | Задание |
, , | , , | ||
, , | , , | ||
, , | , , | ||
, , | , , | ||
, , | , , | ||
, , | , , | ||
, , | , , | ||
, , | , , | ||
, , | , , | ||
, , | , , |
Таблица 2
№ вар. | А) | Б) | В) |
Продолжение табл. 2
№ вар. | А) | Б) | В) |
Таблица 3
№ вар. | А) | Б) |
Продолжение табл. 3
№ вар. | А) | Б) |
Окончание табл. 3
№ вар. | А) | Б) |