О п р е д е л е н и е. Подобием с коэффициентом называется преобразование плоскости, при котором все расстояния умножаются на
.
Примеры подобий
1. Любое движение является подобием с коэффициентом .
2. Гомотетией с центорм
и коэффициентом
называется отображение плоскости в себя, при котором каждой точке
ставится в соответствие точка
такая, что
.
Проверьте, что гомотетия является биективным отображением, а значит, является преобразованием плоскости.
Для любых двух точек и их образов
при гомотетии имеем
. Тогда
и
, то есть гомотетия с коэффициентом
является подобием с коэффициентом
.
Из условия получаем формулы гомотетии
,
позволяющие доказать свойства гомотетии:
a. При гомотетии прямая, не проходящая через центр гомотетии, переходит в параллельную ей прямую, а прямая, проходящая через центр гомотетии – в себя.
b. Гомотетия сохраняет простое отношение трех точек прямой, а значит, сохраняет отношение «лежать между» и отрезок переводит в отрезок, луч в луч, угол в угол.
|
|
c. Гомотетия переводит угол в равный угол (Почему?).
d. Гомотетия сохраняет ориентацию плоскости. Для доказательства этого свойства находим по формулам гомотетии координаты точек, определяющих репер – образ репера
при гомотетии. Затем находим координаты базисных векторов репера
и убеждаемся, что определитель матрицы перехода от базиса репера
к базису репера
равен
, то есть реперы
и
одинаково ориентированы.
Свойства подобий
Т е о р е м а 1. (о разложении подобия в композицию гомотетии и движения) Всякое преобразование подобия можно представить как композицию гомотетии с тем же коэффициентом и движения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – подобие с коэффициентом
. Если
– гомотетия с коэффициентом
, то
– гомотетия с коэффициентом
. Тогда композиция
является движением и мы имеем
– представление подобия в виде композиции гомотетии с тем же коэффициентом и движения.
Из этой теоремы и свойств гомотетии и движения получаем свойства подобий:
- Подобие переводит прямую в прямую.
- Подобие сохраняет простое отношение трех точек прямой, а значит, сохраняет отношение «лежать между» и отрезок переводит в отрезок, луч в луч, угол в угол, полуплоскость в полуплоскость.
- Подобие переводит угол в равный угол.
- Существуют подобия I и II рода.
- Множество Р всех подобий плоскости является группой относительно композиции преобразований. Подгруппами этой группы являются: группа
всех движений плоскости, множество всех гомотетий с общим центром, множество всех гомотетий и параллельных переносов.
- Фигуры
и
называются подобными, если они эквивалентны относительно группы Р подобий. Примерами подобных фигур являются два треугольника, соответственные стороны которых пропорциональны, два эллипса (две гиперболы), эксцентриситеты которых равны, любые две параболы.
|
|