ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
В математике и ее приложениях различают два типа величин: векторные и скалярные.
Скалярной называется величина, которая полностью определяется числом, выражающим отношение величины к соответствующей единице измерения.
Векторной называется величина, для полного определения которой нужно задать кроме численного значения еще направление в пространстве.
Вектором называется направленный отрезок прямой, с начальной точкой А и конечной точкой В.
Вектор называется свободным, если для него заданы направление и длина, а положение в пространстве не фиксировано. Т.Е. при параллельном переносе он не меняется.
Два вектора и равны, если:
1) они сонаправлены (имеют одинаковое направление);
2) длины отрезков и равны.
Нулевым называется вектор, начало и конец которого совпадают.
Длиной вектора называется длина отрезка .
Единичным вектором или орт-вектором называется вектор единичной длины.
Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых. При этом они могут быть сонаправлены (имеют одно направление) или противонаправлены (имеют противоположное направление).
|
|
Векторы называются компланарными, если они лежат на одной или параллельных плоскостях.
Линейные операции над векторами.
К линейным относятся операции сложения векторов и умножение вектора на число.
Суммой векторов и называется вектор, полученный по правилу сложения векторов:
А) если совместить начала векторов, то суммой будет вектор, начало которого совпадает с началами векторов, а конечная точка - противоположная вершина параллелограмма, сторонами которого будут и ;
В) если совместить начало второго вектора и конечную точку первого, то сумма – вектор, начало которого совпадает с начальной точкой первого вектора, а конечная – с конечной точкой второго.
Суммой конечного числа векторов служит замыкающий вектор:
Вектор называется противоположным вектору , если их длины совпадают, а направления противоположны.
Разностью векторов и называется вектор , который является суммой векторов и - . Вектор направлен к концу вектора , если и приведены к одному началу.
Произведением вектора на число называется вектор , для которого:
1) длина в раз больше:
2) направления совпадают, если и противоположны, если
Для любого ненулевого вектора можно определить орт вектора:
Введенные операции называются линейными и обладают рядом свойств:
1) Сложение векторов коммутативно:
2) Сложение векторов ассоциативно:
3)
4)
5) Умножение вектора на число ассоциативно:
6)
7) Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел:
|
|
8) Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов:
Множество векторов, удовлетворяющих этим свойствам, образуют линейное векторное пространство
Проекция вектора.
Ось – прямая, на которой задано направление.
Углом между двумя векторами (вектором и осью, двумя осями) называется меньший угол , на который нужно повернуть один вектор (ось), чтобы он совпал по направлению с другим вектором (осью).
Очевидно, .
Проекцией вектора на ось называется длина отрезка , заключенного между ортогональными проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+», если направление оси и направление от к совпадают и со знаком «-», если не совпадают.
Из рисунка видно, что проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью:
(1)
Направленный отрезок называется ортогональной составляющей вектора по оси . Очевидно,
(2)
СВОЙСТВА проекции:
1)
2)