Раздел 1.
Элементы линейной алгебры.
Линейные действия над матрицами и их свойства
Определение
Числовой матрицей (матрицей) размера будем называть прямоугольную таблицу чисел, содержащую
строк и
столбцов, и обозначать
или
.
Матрица
, содержащая один столбец, называется столбцом.
Матрица
, содержащая одну строку, называется строкой.
Столбцы и строки будем обозначать как векторы - .
Пример. Матрица
содержит свои элементы в 3-х строках и 3-х столбцах.
Обозначение: =
или
= |
|,
=1,2,3,
=1,2,3
- обозначение элемента матрицы, расположенного в
-й строке, и
-м столбце, (
=1,2,3,
=1,2,3);
- индекс, указывающий номер строки;
- индекс, указывающий номер столбца.
Линейными действиями над матрицами называются операции сложения матриц, и умножения матрицы на число.
Определение
При сложение матриц
и
образуется матрица
, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц
и
.
Обозначение суммы матриц: =
+
где
=|
|,
=|
|,
=|
|,
=
+
,
=1,…,n,
=1,…,m.
Пример №. +
=
Определение
|
|
При умножении матрицы
на
образуется матрица
, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы
на
.
Обозначение произведения матрицы на число: =
где
=|
|,
=|
|,
=
,
=1,…,n,
=1,…,m,
.
Пример. 3
=
Определение
Линейной комбинацией столбцов с коэффициентами
называется выражение вида:
=
Пример. Столбец =
является линейной комбинацией столбцов
=
и
=
с коэффициентами 1, 2.
линейно выражается через
и
:
=
+ 2
ó
=
=
+2
.
Аналогично вводится понятие линейной комбинации матриц с коэффициентами
:
=
.
Линейные свойства матриц:
Пусть
=|
|,
=|
|,
=1,…,n,
=1,…,m,
,
,
тогда:
1. A + B = B + A (коммутативность)
2.(A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность)
3. (A + B) =
A +
B (дистрибутивность)
4.( +
) A =
A +
A (дистрибутивность)
5.(
) A =
(
A) (ассоциативность)
2. Произведение матриц и их свойства
Определение.
Произведением матриц
и
называется матрица
,
элементы которой определяются по формуле:
=
, (
=1,…,n,
=1,…,k).
Обозначение: =
,
=|
|.
Пример. Пусть
,
. Найти
=
.
=
=
+
+…+
,
=
=
+
+…+
,
=
=
+
+…+
, и т.д.
Матрицы и
можно перемножить, если число столбцов матрицы
(т.е. длина строки матрицы
) равно числу строк матрицы
(т.е. длине столбца матрицы
).
Количество строк матрицы (где
=
) определяется количеством строк матрицы
, а количество столбцов – количеством столбцов матрицы B.
Пример.
=
=
= 3
1 + 1
0 + 0
1 + 2
3 = 9
= 6
1 + 2
0 + 0
1 + 4
3 = 18
= 3
2 + 1
3 + 0
7 + 2
0 = 9
= 6
2 + 2
3 + 0
7 + 4
0 = 18
= 3
7 + 1
0 + 0
9 - 2
6 = 9
= 6
7 + 2
0 + 0
9 - 4
6 = 18
Свойства произведения матриц:
1. =
(ассоциативность)
2. =
+
(дистрибутивность)
В общем случае произведение матриц не коммутативно, т.е.
.
Если =
, тогда матрицы
и
называются перестановочными.
|
|
Пример. Умножим матрицу =
на столбец
=
=
=
ó
Матричной записью системы линейных уравнений
называется выражение вида:
=
, или кратко:
=
,
где:
=
- матрица системы;
=
- столбец неизвестных;
=
- столбец свободных членов.
Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства
Определение
Выражение вида , где
,
=1,2,
=1,2,
которое вычисляется по формуле ,
называется определителем второго порядка матрицы =
.
Пример. Вычислить определитель: .
Определение
Выражение вида
, где
,
=1,2,3,
=1,2,3,
которое вычисляется по формуле
=
+
+
-
-
-
,
называется определителем третьего порядка матрицы =
.
В алгебраическую сумму, определяющую определитель третьего порядка, со знаком плюс входят произведения следующих элементов:
со знаком минус:
.
det - обозначение определителя (детерминанта) матрицы
.
Свойства определителей разберем на примере определителей 2-го и 3-го порядка.
1. Определитель матрицы не изменяется при ее транспонировании
det = det
, где
=
,
=
- обозначение транспонированной матрицы
.
Транспонирование – это процедура, связанная с заменой строк матрицы на столбцы
=
=
Из первого свойства следует, что любое свойство, сформулированное для строк определителя, справедливо и для столбцов, и - наоборот.
2. Знак определителя изменится на противоположный, если поменять местами два столбца (строки)
=
=
=
3. Определитель равен нулю, если содержит нулевой столбец (строку)
= 0
4. Определитель равен нулю, если содержит два одинаковые столбца (строки)
=
= 0
5. Коэффициент, на который умножены все элементы некоторого столбца (строки) можно выносить за определитель, как множитель.
=
=
=
=
=
Пример. =
6. Определитель равен нулю, если содержит пропорциональные столбцы (строки)
= 0 ó
=
= 0 (см. свойство 4)
7. Если в определителе каждый элемент некоторого i-го столбца представлен суммой двух слагаемых, тогда данный определитель может быть представлен суммой двух определителей того же порядка.
Столбцы полученных определителей, кроме i-го столбца, совпадают со столбцами исходного определителя.
i-й столбец первого полученного определителя состоит соответственно из первых слагаемых в суммах, которыми представлены соответствующие элементы i-го столбца исходного определителя.
i-й столбец второго полученного определителя состоит соответственно из вторых слагаемых в суммах, которыми представлены соответствующие элементы i-го столбца исходного определителя.
=
+
В силу свойства 1, данное свойство справедливо и для строк.
Утверждение
Определитель не изменится, если к одному из его столбцов прибавить другой его столбец, умноженный на константу (см.свойства 7,6).
В силу свойства 1, данное утверждение справедливо и для строк.
8. Определитель равен нулю, если один из его столбцов (строк) представляет собой линейную комбинацию некоторых других столбцов (строк).
Рассмотрим определитель
;
у которого третий столбец представляет собой линейную комбинацию первого и второго столбцов с коэффициентами и
:
=
+
= 0 ó
=
+
= 0 + 0
(см.свойства 7,6)