Необходимое и достаточное условие равенства определителя нулю

Определение

Система столбцов называется линейно зависимой, если один из столбцов может быть представлен в виде линейной комбинации других столбцов.

Пример. Система столбцов

= , = , =

линейно зависима т.к. столбец линейно выражается через столбцы , :

= + 2 ó = + 2

Утверждение. (Необходимое и достаточное условие равенства определителя нулю).

Для равенства определителя нулю необходимо и достаточно, чтобы его столбцы (строки) были линейно зависимыми.

Пример

= 0

Третий столбец данного определителя представляет линейную комбинацию первого и второго столбцов с коэффициентами и . Поэтому столбцы данного определителя линейно зависимы (выполнено необходимое и достаточное условие равенства определителя нулю).

Пример. Исследование системы столбцов

= , = , =

на линейную зависимость с помощью определителя

= 1 2 3 + 0 2 2 + 1 0 1 - 1 2 2 - 0 0 3 - 1 2 1 = 0 Определитель равен нулю, следовательно – столбцы линейно зависимы.