Лабораторная работа № 7
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Методические указания
Волгоград,2014
Лабораторная работа № 7
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
1. Цель работы: изучение свободных колебаний маятника, с хорошей точностью удовлетворяющего модели математического маятника; оценка точности реализации этой модели в лабораторной установке; определение ускорения свободного падения; оценка результатов измерений и расчет погрешностей.
2. Оборудование: лабораторная установка.
3. Материал для изучения:
Свободные колебания маятника.
Определение погрешностей при прямых и косвенных измерениях.
4. Теоретическое введение
Период малых колебаний физического маятника равен
(1)
где I0 — момент инерции маятника относительно оси качаний 00. т — масса маятника, a — расстояние от оси качаний маятника до его центра масс С, g— ускорение свободного падения.
В данной работе проводится экспериментальная проверка соотношения (1) в случае, когда маятник можно приближенно считать математическим, т. е. когда масса маятника сосредоточена в области, размеры которой малы по сравнению с а.
|
|
Исследуемый в лабораторной установке маятник схематически изображен на рис. 25. Он представляет собой стальной шарик радиусом r на бифилярном подвесе: тонкая нить пропущена через центр шарика, концы нити закреплены на стойке. Длина подвеса может регулироваться в пределах от нескольких сантиметров до 1 м. Период колебаний с высокой (до 10-3 с) точностью измеряется с помощью электронного секундомера.
Рис.1
Момент инерции маятника складывается из момента инерции шарика и момента инерции нити подвеса. Пренебрегая моментом инерции нити, запишем момент инерции маятника относительно оси 00 в виде
(2)
Соотношение (2) следует из теоремы Гюйгенса—Штейнера, если учесть, что момент инерции однородного шара радиусом r и массой т относительно оси, проходящей через его центр, равен
Рассмотрим случай, когда радиус шарика мал по сравнению с длиной подвеса: r<<a. Тогда в (2) можно пренебречь слагаемым , малым по сравнению с ma2, и положить
(3)
В этом приближении I0 определяется, очевидно, с небольшой систематической погрешностью
(4)
которую в условиях опыта легко оценить. С учетом (3) период колебаний маятника можно записать в виде
(5)
Он, как и должно быть, совпадает с периодом колебаний математического маятника, длина подвеса которого а. Из (5) находим следующее выражение для ускорения свободного падения:
(6)
5. Измерения
Соотношение (6) позволяет опытным путем определить ускорение свободного падения. Для этого, очевидно, необходимо измерить период колебаний маятника Т и длину подвеса а, затем рассчитать g по формуле (6).
|
|
Однако, прежде чем перейти к определению g, необходимо выяснить, применимо ли вообще соотношение (6) для лабораторной установки.
Дело в том, то выражение (1) для периода колебаний справедливо для идеализированной модели физического маятника. Следовательно, и соотношение (6) также справедливо только в рамках этой модели. При выводе соотношения (1) были сделаны следующие предположения:
1) маятник совершает колебания малой амплитуды, и поэтому период колебаний не зависит от амплитуды (изохронность колебаний);
2) затуханием колебаний можно пренебречь.
Непосредственным измерением легко проверить, что периоды колебаний маятника при малой (порядка 3—5°) и большой (30—45°) амплитудах заметно отличаются. Так как расчетная формула (6) применима только для малых амплитуд, то необходимо определить, в каком диапазоне амплитуд период колебаний остается постоянным с достаточно высокой точностью (например, с точностью до 0,5%). Это легко сделать измеряя период колебаний маятника для различных значений амплитуды в пределах от 2—3° до 10—15°.
Обсудим теперь, как можно оценить влияние затухания на период колебаний маятника. Отклонив маятник из положения равновесия, легко проверить, что колебания его постепенно затухают. Количественную оценку величины поправки ∆T к периоду можно получить, если учесть, что основной причиной затухания колебаний маятника является вязкое трение о воздух.
В этом случае действующая на шарик сила трения пропорциональна скорости его движения:
Период колебаний маятника несколько увеличивается, а частота колебаний уменьшается по сравнению с частотой маятника без трения. При этом частота колебаний
(7)
а их период
(8)
где
Коэффициент затухания выражается через число колебаний N, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е == 2,78 ≈ 3 раза:
(9)
Из соотношений (7), (8) и (9) находим
(10)
(11)
Таким образом,
(12)
Видно, что уже при N ≈ 10 поправка (12) к периоду колебаний меньше 0,1 % и ею можно пренебречь.
6. Ход работы
1. Определите диапазон изохронности колебаний. Для этого измерьте период колебаний маятника для 8—10 значений амплитуды θ в пределах от 0 до 30°. Результаты занесите в табл. 1. Выясните, в каком диапазоне амплитуд колебания можно считать изохронными с точностью до 0,1; 0,5; 1%.
Таблица 1
Θ | ||||||||||
T(θ) |
2. Определите по формуле (12) влияние затухания на период колебаний. Для этого найдите число N колебаний, за которое амплитуда колебаний маятника уменьшается примерно в три раза.
3. Вычислите наименьшую длину подвеса маятника amin, при которой с точностью до 0,5% можно считать момент инерции маятника равным I0=ma2. Для этого в соотношении (4) примите ∆ Iсист./I0= 0,005 и вычислите amin.
4. Проверьте, подтверждается ли на опыте линейная зависимость
между квадратом периода колебаний Т2 и длиной а подвеса [см. (6)].
Для этого измерьте период колебаний маятника для четырех-пяти длин подвеса в пределах от amin ≈ 25 см до amax = 1 м.
При измерениях амплитуда θ колебаний должна быть малой, т. е. находиться в найденном выше диапазоне изохронности. Результаты измерений занесите в табл. 2.
Таблица 2
a | ||||
T(a) | ||||
T2(a) |
По результатам измерений постройте график зависимости Т2 от а в осях координат Х = a, Y = Т2.
5. Определите ускорение свободного падения g. Для этого измерьте период колебаний Т маятника при наибольшем значении длины подвеса а = amax, чтобы уменьшить относительную погрешность . Вычислите g c помощью формулы (6) при найденных значениях Т и a.
Оцените погрешность и запишите полученный результат в виде
|
|
Контрольные вопросы
1. На основании измеренных в работе данных оцените добротность и логарифмический декремент затухания маятника.
2. Основной причиной затухания колебаний маятника является вязкое трение о воздух. На шар радиусом R, движущийся со скоростью v, действует сила трения
где η — коэффициент вязкости. Вязкость воздуха при нормальных условиях η= 1,7∙105 Па∙с. Оцените максимальную силу трения, действующую на шар в условиях опыта.
3. Маятник (рис. 2) отводят из положения равновесия на угол θ=90° и без толчка отпускают. Оцените силу натяжения нитей в тот момент, когда он проходит положение равновесия. Длина нитей /=40 см, диаметр шаpa d=2,2 см, a =8 см, плотность стали 7,8 г/см3.
Рис.2
4. Математический маятник длиной l=1 м подвешен к потолку кабины, которая начинает опускаться вертикально вниз с ускорением .Спустя время t1=3 с после начала движения кабина начинает двигаться равномерно, а затем в течение 3с тормозится до остановки. Определите 1) периоды T1, T2,T3 гармонических колебаний маятника на каждом из участков пути; 2)период T4 гармонических колебаний маятника при движении точки подвеса в горизонтальном направлении с ускорением .