Определим величину силы F, при которой форма равновесия становится неустойчивой (минимальную величину силы, при которой становится неустойчивой). Вывод основуется на допущениях:
1) Напряжение в сечениях бруса не превышает предела пропорциональности (напряжение, до которого сохраняется закон Гука), т.е. материал работает в пределах упругости.
2) Деформации бруса равны по сравнению с его размерами, тогда можно применять диф-е ур-е изогнутой оси бруса.
d2W/dx2=M(x)/EImin; M(x)= –Fx;
d2W/dx2= –FW/EImin; W″+ +(F/EImin)W=0; k2=F/EImin; W(x)= Asinkx + Bcoskx;
1) при x=0:
W(0)=0; A∙0+B∙0=0; B=0.
2) при x=ℓ:
W(ℓ)=0: W(ℓ)=Asinkℓ=0; A≠0; sinkℓ=0; kℓ=πn; k=πn/ℓ. Приравнивая k к k2 получаем: n2π2/ℓ2 = F/EImin; F= n2π2 EImin /ℓ2; при n=1→Fmin=Fкр
Fкр=π2EImin/ℓ2 – формула Эйлера.
W(x)=Asinkx; Wmax при х-?:
W′x(x)=Akcoskx=0; coskx=0; kx= π/2; x=π/2k; Wmax=A∙1=f→A=f.
W(x)=fsinkx – закон изменения деформации стержня по длине бруса. Определим геометрический смысл n.
х (координата)=π/2k – координата max. прогиба.
x=π/2k={k=nπ/ℓ}=πℓ/2nπ=ℓ/2n;
xmax=ℓ/2n.
|
|
Для n=1: Fкр=x2EImin/ℓ2;
Для n=2: Fкр=4π2EImin/ℓ2;
Для n=3: Fкр=9π2EImin/ℓ2;
n показывает сколько полуволн укладывается на длине бруса при потере устойчивости под действием Fкр.
Iz=bh3/12; Iy=bh3/12; Iz >> Iy;
Iz – ось наибольшей жесткости. EIz – жесткость поперечного сечения бруса на изгиб. Iy – ось наименьшей жесткости. Плоскость xOz перпендикулярна оси наименьшей жесткости. При продольном изгибе бруса (потере его устойчивости) изогнутая ось лежит в плоскости перпендикулярной оси наименьшей жесткости. Ось y – нейтральная ось. Если для бруса Iz ≠ Iy, то всегда при потере устойчивости изогнутая ось лежит в плоскости перпендикулярной оси наименьшей жесткости, и в формулу Эйлера подставляем наименьший из моментов инерции. Рациональной формой поперечного сечения для сжатого длинного и тонкого бруса будет та, у которой моменты инерции Iz = Iy (обладающие центральной симметрией и имеющие момент инерции при наименьшей площади).
А1=А2; I1>>I2; 1 рациональней 2.