Выборочного среднего арифметического

при верности гипотезы Н₀ (кривая 1) и

верности гипотезы Н_] (кривая 2)

Вероятность ошибки первого рода, т.е. вероятность попада­ния Х_n в интервал [μ_кр,∞], при верности гипотезы Н₀ определяет­ся соотношением

α=1- Ф((μ_кр - μ₀) / σ₀ / √n)

а вероятность ошибки второго рода, т.е. вероятность попадания Х_n в интервал [-∞, μ_кр ], при верности гипотезы Н₁ определяется соотношением

β=Ф((μ_кр – μ₁) / σ₀ / √n)

Учитывая, что μ_кр – μ₁ <0 получаем

β=1- Ф((μ₁ – μ_кр) / σ₀ / √n)

Из приведенных соотношений и рис. 2.7 следует, что:

- увеличение объема выборки п ведет к уменьшению диспер­сии (σ² = σ²₀ / n) выборочной средней X_n и тем самым к одновременному уменьшению вероятности ошибок обоих видов;

- сумма α и β не равна единице. Вероятность ошибок обоих реше­ний —принятия или отклонения гипотезы H₀ — относится к раз­личным плотностям распределения (кривые 1 и 2 на рис. 2.7);

- увеличение μ_кр ведет к уменьшению α, но к одновременному увеличению β, а уменьшение μ_кр приводит к увеличению α и уменьшению β. Подчеркнем, что одновременное уменьшение значений α и β возможно только за счет увеличения объема выборки;

- задавая значение α, т.е. уровень значимости критерия, тем самым определяем область отклонения гипотезы Н₀. Наибо­лее распространенными значениями α являются 0,1; 0,05; 0,01; 0,001;

- вероятность ошибки первого рода α относится к критерию проверки гипотез в целом, а не к отдельному результату про­верки. Отсюда следует, что если проверка проводится много­кратно, то, примерно, в α *100% случаях гипотеза Н₀ может быть отклонена даже, если она в действительности верна.

При определении области отклонения гипотезы необходимо, во-первых, учитывать, что максимальная вероятность ошибки первого рода должна быть не больше, чем заданный уровень значимости критерия α, а во-вторых, вероятность ошибки второго рода должна быть как можно меньше. Вероятность ошибок обоих видов можно опреде­лить, используя оперативную характеристику критерия, которая представляет собой зависимость вероятности принятия гипотезы H₀ от неизвестного значения контролируемого параметра θ, т.е. Р(θ), и задается уравнением, таблицей или графиком (рис. 2.8).

Рис 2.8 Оперативная характеристика критерия проверки гипотезы

Вероятности ошибочного отклонения или принятия гипотезы Н₀ можно непосредственно определить по графику оперативной характеристики. При этом в области принятия гипотезы Н₀ выра­жение 1-Р(θ) является зависящей от θ вероятностью ошибки пер­вого рода, а в критической области значение Р(θ) является зави­сящей от θ вероятностью ошибки второго рода.

В общем случае в области принятия гипотезы Н₀ оператив­ная характеристика должна иметь как можно большее значение, а в критической области — как можно меньшее значение.

Идеально на границе раздела критической области и области принятия гипотезы Н₀ оперативная характеристика должна пре­терпевать единичный скачок. При этом статистический критерий является идеальным, а вероятности ошибок первого и второго рода равны нулю.

Таким образом, по известной оперативной характеристике Р(θ) статистического критерия для каждого значения контролируемо­го параметра θ можно вычислить вероятность принятия гипотезы Н₀. Однако при применении статистических методов обеспечения качества иногда требуется по заданной вероятности принятия ги­потезы Н₀ Р(θ_ω)=ω определить соответствующее значение контро­лируемого параметра θ_ω, т.е. значение соответствующей квантили оперативной характеристики порядка или уровня ω. Напри­мер, при выборочном приемочном контроле квантили позволяют определить уровни несоответствий в контролируемой партии про­дукции, при которых партии продукции будут приниматься с за­данной вероятностью.

Определить квантиль оперативной характеристики θ_ω можно из графика оперативной характеристики как абсциссу, соответству­ющую значению ω ординаты (рис. 2.8), или с помощью квантильной (обратной) функции θ_ω=P^-1(θ_ω). Например, с использованием таблицы 2.1 значение квантили уровня 0,995 нормированного нор­мального распределения θ_0,995≈2,58.

В заключение отметим, что таблица значений квантилей нор­мированного нормального распределения приведена, например, в [71], а таблицы значений квантилей распределения Стьюдента, F -распределения Фишера и χ² -распределения приведены в [19,71]. Значения квантилей этих распределений могут быть рас­считаны с помощью персонального компьютера и программного продукта, разработанного на основании алгоритмов, приведен­ных, например, в [68,75].