Докажем, что образы базисных векторов расположены в столбцах матрицы, что именно при таком строении матрицы умножение её на вектор-столбец будет задано корректно, то есть оно будет действительно отображать базисные векторы в их образы.
Умножим произвольную квадратную матрицу на и : , .
Базисные векторы при умножении на квадратную матрицу отобажаются именно в такие векторы, координаты которых записаны в 1 и 2 столбце матрицы. Строение матрицы оператора: столбцы есть образы базисных векторов при данном отображении, то есть столбец номер матрицы оператора содержит вектор .
Итак, если задан какой-либо закон, по которому отображаются векторы, то чтобы задать матрицу оператора, надо найти, куда отображаются базисные векторы. Для примера, найдём матрицу оператора поворота на произвольный угол .
Расстояния r1 и r2 здесь равны и . Красным показаны образы базисных векторов. Получаем матрицу .
При получится Действие оператора на любой вектор задаётся матрицей так: - любой вектор поворачивается на 90 градусов.
|
|
При матрица будет иметь вид , и действительно, умножение на такую матрицу переводит любой вектор в , а при повороте на каждый вектор как раз и должен повернуться и стать противоположным исходному.
Оператор проекции пространства на плоскость.
Базисные векторы (1,0,0) и (0,1,0) остаются на своём месте, а (0,0,1) отображается в (0,0,0).
Матрица оператора проекции:
Каждый вектор он отображает в :
Здесь естественным образом возникает такое понятие как ядро линейного оператора.Множество векторов, которые отображаются в 0, называется ядром оператора. .
Для примера выше (проекции) ядро - это ось .
Тождественный оператор. Линейный оператор, который отображает каждый вектор в исходный, называется тождественным. I(x)=x. Ему соответствует матрица Е.
Композиция операторов. Если последовательно действуют два линейных оператора: то итоговое отображение называется композицией двух операторов. Соответственно, с помозью матриц это задаётся так: , что равно , так что композиции операторов соответствует произведение матриц.
Обратный оператор.
Определение. Если для линейного оператора L существует линейный оператор , который каждый вектор отображает обратно: , т.е. в композиции с исходным получится тождественный оператор тогда L называется обратимым, а обратным для L.
Примеры: поворот на угол - обратимый, проекция - необратимый линейный оператор. Обратному оператору соответствует обратная матрица.
Свойство. Линейный оператор является обратимым .
Собственные векторы.
Определение. Если для ненулевого вектора выполняется , то называется собственным числом, а вектор называется собственным вектором, соответствующим этому собственному числу.
|
|
Геометрически это означает, что при действии отображения вектор остаётся на той же самой прямой. Для нулевого вектора рассматривать это понятие нет смысла, ведь для любого числа .
Не для каждого оператора существуют собственные векторы. Так, при повороте плоскости на произвольный угол (кроме 0 и 1800) ни один вектор не остаётся на той же самой прямой. При вращении шара в пространстве: все векторы на оси вращения - собственные, они соответствуют .
Если растяжение по оси x с коэффициентом 2, а по оси y с коэффициентом 3, то векторы, не лежащие на осях, поворачиваются, и они не являются собственными.
Теорема 1. Линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному и тому же числу , тоже является собственным вектором, соответствующим .
Доказательство. Дано , . Тогда = .
Итак, для линейной комбинации, действие оператора тоже равносильно умножению на , что и требовалось доказать.
Следствия: Если какой-то вектор на прямой является собственным, то и любой другой вектор на этой же прямой является собственным, так как он кратен первом у вектору, то есть является его линейной комбинацией. Если растяжение в плоскости на один и тот же коэффициент по двум осям, то и все векторы плоскости - собственные векторы.
Теорема 2. Любые два собственных вектора, соответствующих различным собственным числам, образуют ЛНС (линейно-независимую систему).
Доказательство. Дано , . Допустим, что они были бы линейно-зависимы, то есть предположим .
Можно сначала отобразить линейным оператором, а потом представить в виде , а можно наоборот, сначала выразить через , а потом применить отображение:
тогда , то есть . Но вектор ненулевой, коэффициент тоже. Тогда , то есть , а это противоречит условию теоремы. Итак, предположение ложно, векторы не могут быть линейно-зависимы. Что и требовалось доказать.
Вывод: Вся прямая состоит из собственных векторов, соответствующих одному и тому же , там не может быть векторов, соответствующих другим числам, а также векторов, не являющихся собственными.
Теорема 3. Если является собственным вектором линейного оператора , соответствующим , то он также является собственным и для обратного оператора , и соответствует числу .
Доказательство. Если , то по определению обратного оператора . Но тогда вынесем константу:
а значит, .
Введём такие понятия: Характеристическая матрица .
Характеристическое уравнение: (вычислить определитель хар. матрицы и приравнять к 0).
Теорема 4. Число является собственным для линейного оператора, заданного матрицей , тогда и только тогда, когда .
Доказательство. Покажем для матрицы 2 порядка. Запишем подробно выражение :
, тогда
Это кажется похоже не неодородную, но на самом деле это однородная система, так как справа не константы, а выражения с теми же переменными, что и слева, то есть их можно перенести все в одну сторону, и справа останутся 0, вот что получилось:
Если основная матрица такой системы невырождена, то решение только тривиальное (так как ранг равен числу переменных, и нет свободных переменных), а если вырождена, то нетривиальные решения есть.
Итак, решение существует , это и есть , так как это определитель матрицы .
Что и требовалось доказать.