Позиционные системы счисления

Системы счисления

Основные понятия

Система счисления – это способ записи чисел и соответствующие ему правила действий над числами.

Совокупность всех символов, при помощи которых можно записать любое число в заданной системе счисления называется алфавитом системы счисления.

Символы алфавита системы счисления называются цифрами системы счисления.

Системы счисления делятся на

· непозиционные системы счисления;

· позиционные системы счисления.

В непозиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, не зависит от позиции цифры в числе.

Примером непозиционной системы счисления является римская система, которой мы чаще всего пользуемся для нумерации (века, глав книги и пр.)

В римской системе счисления в качестве цифр используются латинские буквы:

I – 1

V – 5

X – 10

L – 50

C – 100

D – 500

M – 1000

Например, число ХХХ = 10 + 10 + 10 = 30

Цифра Х всегда равна 10, независимо от позиции, в которой она находится.

При записи чисел в римской системе счисления используются следующие правила:

1. Цифры записываются слева направо в порядке убывания. В этом случае их значения складываются (VI = 5 + 1).

2. Если слева записана меньшая цифра, а справа большая – то их значения вычитаются (IV = 5 – 1 = 4).

3. Перед старшей цифрой не может быть записано более одной младшей цифры.

(Нельзя писать IIV = 5 – 1 – 1 = 3. Надо: III = 1 + 1 + 1 = 3)

Пример 1: MCMXCVII = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) + 5 + 1 + 1 = 1997

Пример 2: 794 = (500 + 200) + (100 – 10) + (5 – 1) = DCCXCIV

В позиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции, в которой находится эта цифра.

Для вычислений мы используем арабскую систему счисления, алфавит которой состоит из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Например, число 333 = 300 + 30 + 3.
Здесь цифра 3 в самой младшей (крайней справа) позиции обозначает число 3, та же цифра 3 в следующей позиции – число 30, а в самой старшей (крайней слева) позиции – число 300.

Непозиционные системы счисления имеют рад недостатков:

· Для записи больших чисел приходится вводить новые цифры.

Например, записать 50 000 при помощи цифры М (1000) неудобно – получится слишком длинное число. Один из выходов – ввод новых цифр.

· Невозможно записывать дробные и отрицательные числа.

· Сложно выполнять арифметические операции, особенно умножение и деление.

Всех этих недостатков лишены позиционные системы счисления. В дальнейшем мы будем рассматривать представление чисел только в позиционных системах счисления.

 

Позиционные системы счисления

В позиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции, в которой находится эта цифра.

Количество используемых цифр называется основанием системы счисления.

Покажем связь между основанием системы счисления, ее названием и алфавитом.

Основание (количество цифр)	Система счисления	Алфавит (все цифры)
	десятичная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
	двоичная	0,1
	троичная	0,1,2
	пятеричная	0,1,2,3,4
	восьмеричная	0,1,2,3,4,5,6,7
	одиннадцатеричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A
	тринадцатеричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C
	шестнадцатеричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Обратите внимание на системы счисления с основанием большим 10.

Цифры, начиная с 10, обозначаются буквами латинского алфавита (10 – A, 11 – B, 12 – C,13 – D, 14 – E, 15 – F).

Это делается для того, чтобы не возникало путаницы между числом и цифрой.

Например, число 10 в шестнадцатеричной системе счисления 10₁₆ = 16 палочек.

А цифра 10 — А = 10 палочек.

Чтобы показать, что число записано в системе счисления, отличной от десятичной, в которой все мы привыкли считать, основание системы счисления указывают в качестве нижнего индекса справа от числа (100101₂, 234₆, 3В₁₆).

Основные достоинства любой позиционной системы счисления:

· ограниченное количество символов;

· простота выполнения арифметических операций.

"Мысль выражать все числа немногими знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значения по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна".

Французский математик Пьер Симон Лаплас (1749-1827)

 

В повседневной жизни наиболее употребительна 10-ичная система счисления. И тем не менее великий французский математик Блез Паскаль писал:

"Десятичная система счисления построена довольно неразумно, конечно – в соответствии с людскими обычаями, а вовсе не с требованиями естественной необходимости, как склонно думать большинство людей".

Десятичная система счисления характеризуется тем, что в ней считают десятками:

· десять единиц – это десяток;

· десять десятков – это уже сотня;

· десять сотен – тысяча и т.д.

В 2-ичной системе счисления считают двойками, в 5-ичной – пятерками, в 8-ой – восьмерками и т.д.