Пересечение двух плоскостей

Прямая линия, получаемая при пересечении двух плоскостей, определяется двумя точками (например, М и N), которые принадлежат обеим плоскостям. На рис. 42.4. видно, что прямая МN, по которой пересекаются между собой две плоскости, проходит через М и

Рис. 42.4.

и N, но в этих точках прямые АВ и АС плоскости треугольника пересекают вторую плоскость, т.е. точки М и N принадлежат обеим плоскостям.

Для нахождения точек пересечения обычно приходится выполнять специальные построения. Но если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей перпендикулярна к плоскости проекций, то построение проекций линии пересечения упрощается.

1. Пример 1. Дано: Плоскость общего положения () и горизонтально проецирующая плоскость . Построить линию пересечения этих плоскостей (рис. 42.5.).

Рис. 42.5. Рис. 42.6.

Решение. Горизонтально проецирующая плоскость проецируется на горизонтальную плоскость проекций в виде прямой линии. На этой же линии находится горизонтальная проекция отрезка прямой, по которому пересекаются обе плоскости. С помощью линий связи находим фронтальные проекции точек и . В завершении определяется видимость сторон треугольника.

Пример 2. Дано: Плоскость общего положения () и следы горизонтально проецирующей плоскости (рис. 42.6.).

Решение. Горизонтально проецирующая плоскость пересекает плоскость треугольника АВС. Горизонтальная проекция линии пересечения этих плоскостей – отрезок определяется на следе . Фронтальная проекция линии пересечения строится по линиям связи.

Теперь рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей. Эта задача решается с использованием вспомогательных секущих плоскостей - посредников, т.е. дополнительно проводят ещё две плоскости частного положения, находят линии пересечения этих плоскостей с заданными, а затем строят искомую линию.

Пример 3. Построить линию пересечения двух плоскостей: плоскость задана следами и плоскость задана проекциями треугольника АВС (рис. 42.7.).

Рис. 42.7.

Если плоскости заданы их следами на плоскостях проекций, то прямая пересечения этих плоскостей определяется по точкам пересечения их одноименных следов плоскостей (рис.42.8.): прямая, проходящая через эти точки, является общей для обеих плоскостей, т.е. их линией пересечения.

Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей. Поэтому для построения проекций линии пересечения плоскостей и надо: 1) найти точку пересечения следов и и точку в пересечении и , а по ним – проекции и ;

2) провести прямые линии и .

Рис. 42.8.

2. На рисунке 43 показано пересечение плоскости общего положения Р с горизонтально-проектирующей плоскостью Q: последовательность построения линии пересечения плоскостей как в предыдущей задаче только с учетом, что горизонтальная проекция линии пересечения в данном случае совпадает с горизонтальным следом , т.к. плоскость Q – горизонтально-проектирующая.

Рис. 43

3. У пересекающихся плоскостей на одной плоскости проекций следы параллельны (рис. 44).

На рисунке 44 изображены плоскости P и Q, у которых горизонтальные следы и параллельны. Точка пересечения фронтальных следов и определяет одну общую точку для данных плоскостей – точку .

Рис. 44.

Параллельность горизонтальных следов показывает, что линия пересечения плоскостей в горизонтальной плоскости Н должна быть параллельной этим следам, т.е. является общей горизонталью данных плоскостей и её фронтальная проекция параллельна оси ОХ, а горизонтальная – горизонтальным следам заданных плоскостей.