Неограниченная пластина

Рассмотрим охлаждение плоскопараллельной пластины толщиной 2 δ (l = δ). Размеры пластины в направлении осей Оу и Oz бесконечно велики (рис. 4-1). Пластина омывается с обеих сторон жидкостью или газом с постоянной температурой t _cp, причем коэффициент теплоотдачи a для обеих поверхностей имеет одинаковое и постоянное значение.

Рис. 4-1.

В начальный момент времени пластина имеет во всех своих точках постоянную температуру t ₀, поэтому и избыточная температура Q ₁ = t ₀ - t _cp будет также постоянной для всех точек тела. Кроме того, заданы коэффициент теплопроводности λ _ст, плотность тела ρ и его теплоемкость с, величины которых для простоты полагаются постоянными. Коэффициент температуропроводности а определяется по уравнению

а = λ / сρ.

Так как пластина не ограничена как по высоте, так и по ширине, то дифференциальное уравнение принимает вид

.

Граничное условие при х = ± δ

и начальное условие при τ = 0

Q = Q ₁.

Температура поверхности стенки и температура в ее средней плоскости определяются из соотношения

= f(Bi, Fo). (4-5)

Безразмерная координата x / l в средней плоскости и на поверхности пластины становится постоянной величиной (при х = 0 имеем x / l = 0; при х = δ имеем x / l = 1) и поэтому отсутствует в уравнении (4-5):

= f₁(Bi, Fo). (4-6)

Количество теплоты, которое отдает (или воспринимает) пластина в окружающую среду за время τ, должно равняться изменению ее внутренней энергии за период полного ее охлаждения (нагревания). Начальная внутренняя энергия пластины, отсчитанная от внутренней энергии при температуре среды, окружающей стенку, как от нуля, равна

Q ₀ = 2 Fсρδ (t ₀ - t _cp) = 2 FcρδQ ₁ Дж. (4-7)

Количество теплоты, выделяющейся при охлаждении пластины, определяется также значениями безразмерных критериев Bi и Fo:

Q _τ / Q ₀ = f₁(Bi, Fo),

Q_τ = 2 Fсρδ (t ₀ - t _cp.ст) Дж, (4-8)

гдe Q _τ, — количество тепла, переданное в окружающую среду за время τ;

t _cp.ст – средняя температура стенки по истечении периода времени τ.

Зависимости (4-5), (4-6) и (4-8) даются в виде графиков или в виде таблиц. (Таблицы позволяют решать задачи с большей точностью.) Сначала по условиям задачи вычисляют критерии Bi и Fo, а затем по таблицам определяют , и Так как t ₀ = t _ср и начальное теплосодержание известно, то далее проводится вычисление абсолютных значений t _cт t _ц и Q _τ.