Порядок составления критериального уравнения рассмотрим на примере механической колебательной системы с одной степенью свободы, изображенной на рис.1.
Рис.1
Здесь приняты следующие обозначения:
- масса колеблющегося объекта, кг;
- жесткость упругого элемента, Н/м;
- коэффициент сопротивления демпфера, Н с/м;
- перемещение объекта, м;
- внешнее воздействие в виде прямоугольного импульса, Н;
- пиковое значение силового воздействия, Н;
- длительность импульса внешней силы, с;
- время, с.
Составим список параметров системы: . Будем полагать, что этот список, в рамках решаемой задачи, обладает свойством полноты. В качестве основныхпримем величины .Величины будут производными. Кратко список основных и производных величин представим в виде: . В первой круглой скобке – основные величины, а во второй – производные.
Возможен другой выбор основных величин. При этом необходимо, чтобы они имели независимые размерности в системе величин механики (см. приложение 3).
Размерности рассматриваемых величин:
|
|
Количество безразмерных комплексов (критериев подобия) определяет - теорема: из общего числа размерных величин, характеризующих процесс, необходимо вычесть число основных величин, имеющих независимые размерности. В нашем случае число критериев подобия равно четырём.
Для определения критериев нужно каждую из величин ,принятых в качестве производных, поочередно разделить на произведение основных величин, возведенных в некоторые степени :
(1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)
Далее для каждого соотношения (1.9) – (1.12) составляется уравнение размерностей и определяются показатели степеней , которые затем подставляются в исходное выражение (1.9), (1.10), (1.11)или (1.12). Таким образом получаются безразмерные комплексы – критерии подобия.
1. Определение критерия подобия . Для формулы (1.9) составим уравнение размерностей. Так как с одной стороны
,
а с другой
(величина безразмерная),
то можно записать уравнение размерностей:
.
Приравнивая показатели степеней при одинаковых величинах в левой и правой частях, получаем систему уравнений для их определения:
Отсюда: .Подставляя эти значения в формулу (1.9), находим:
. (1.13)
Величина имеет размерность коэффициента сопротивления .
2. Определение критерия подобия . Уравнение размерностей, записанное для формулы (1.10), имеет вид:
.
Отсюда находим систему уравнений для определения показателей степеней
Решая эти уравнения, получаем: . Подставляя найденные значения показателей степеней в соотношение (1.10), находим:
. (1.14)
Величина имеет размерность перемещения .
3. Определение критерия подобия . Для соотношения (1.11) запишем уравнение размерностей
|
|
.
Система уравнений для определения показателей степеней
Решение уравнений дает: . Подставляя полученные значения в (1.11), находим:
. (1.15)
Величина имеет размерность времени.
4. Критерий подобия находится по формуле (1.12) аналогично критерию :
. (1.16)
Критериальное уравнение выражает в общем виде зависимость между безразмерными комплексами :
или
.
Исходя из цели экспериментального исследования, критериальное уравнение можно представить в виде зависимости одного критерия подобия от других, например:
.
Следует заметить, что над критериями подобия можно выполнять операции умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня, умножение на отвлеченное число, т.к. эти операции не изменяют безразмерности критериев. Это обстоятельство можно использовать, чтобы придать критериям более понятный физический смысл.
Обратимся к полученным критериям.
Критерий (1.13) содержит величину . В теории колебаний используется понятие критического коэффициентасопротивления .Критерий можно заменить на критерий . Его физический смысл – относительный коэффициент сопротивления демпфера.
Критерий (1.14) содержит величину , которую можно рассматривать как статическую деформацию упругого элемента под действием постоянной силы, равной пиковому значению . Обозначим эту величинучерез .Критерий заменим критерием . Физический смысл этого критерия – относительное перемещение объекта.
Критерий (1.15) содержит величину . Известна формула для определения периода собственных колебаний . Поэтому можно ввести критерий , характеризующий относительное время.
Критерий (1.16) аналогичен критерию (1,15).В силу этогопринимаем . Он определяет относительную длительность импульса внешней силы.
Критериальное уравнение в новых критериях будет иметь вид:
.
Результаты эксперимента можно представить в виде графика зависимости относительного перемещения объекта от относительного времени при постоянных значениях относительного коэффициента сопротивления демпфера и относительной длительности импульса силы (рис.2).
Рис.2
Такое представление результатов эксперимента позволяет обобщить их на весь класс подобных механических систем с одной степенью свободы, находящихся под действием прямоугольного импульса внешней силы при нулевых начальных условиях.