Пример 5. Нахождение максимума/минимума некоторых функций

Среди всех решений системы найдите такое, при котором выражение принимает минимальное значение

 

Текстовые задачи, которые можно решать графически (обычно это задачи на движение)

Траектория: линия в пространстве, по которой движется тело, представляющая собой множество точек, в которых находилась, находится или будет находиться материальная точка при своём перемещении в пространстве относительно выбранной системы отсчёта.

Рассчитывать мы ее будем, пользуясь известной формулой: S=t×V

 

Пример 6. Задача на движение

(Встречное движение). Два туриста отправились одновременно из пунктов A и B, расстояние между которыми 33 км, навстречу друг другу. Через 3ч 12мин расстояние между ними сократилось до 1км (они еще не встретились), а еще через 2ч 18мин первому осталось пройти до B втрое больше расстояния, чем второму до A. Найдите скорости туристов.

 

Пример 7. Задача на движение

Ровно в 9:00 из пункта А в пункт Б выехал автомобиль. Проехав две третьих пути, наблюдательный водитель автомобиля заметил, что мимо него в сторону пункта А проехал некий велосипедист. В тот самый момент, когда автомобиль прибыл в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал автобус. Когда до пункта А оставалось две пятых пути, не менее наблюдательный водитель автобуса заметил, что он поравнялся с тем самым велосипедистом. Во сколько приедет велосипедист в пункт А, если известно, что автобус прибыл в пункт А ровно в 11:00? Скорости велосипедиста, автомобиля и автобуса считать постоянными.

 

Семинар 9

Ноября 2017

1. Кондитерская фабрика производит продукцию двух видов: конфеты и шоколад. Для производства продукции каждого вида требуются ресурсы двух типов: сахар и какао-бобы. Для производства одной тонны шоколада требуется одна тонна сахара, а для производства одной тонны конфет – 2 тонны сахара. Для производства одной тонны шоколада требуется две тонны какао, а для производства одной тонны конфет – 1 тонна какао. Суточные запасы ресурсов (сахара и какао) равны 6 и 8 тонн соответственно, при этом оборудование не позволяет произвести в сутки более 2 тонн конфет. Прибыль от реализации одной тонны шоколада и конфет составляет 1 и 2 миллиона рублей соответственно.

Задания:

• составить систему, задающую описанные выше условия;
• изобразить графически заданные ограничения;
• найти максимум прибыли, которую можно получить при заданных условиях.

2. Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта А нужно добраться вниз по реке до пункта В, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до пункта В на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта А. Однако, промчавшись восемь километров, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил по старой дружбе довезти его до пункта С. И хоть пункт С Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт С Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули, что им до пункта В осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт С, Василий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами В и С, если известно, что оба катера пришли в пункт В одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.

3. В фигуру, ограниченную параболой и осью Ох, поместили прямоугольник, две вершины которого лежат на параболе, а две – на оси Ох. Найдите наибольшее возможное значение периметра такого прямоугольника.

 

Домашнее задание 9

Ноября 2017

1. На полевых работах геологу нужно собрать образцы типов А и Б. Вес одного образца типа А равен 3 кг, а типа Б – 4 кг. По каждому из образцов типа А требуется провести 5 видов анализов, а по каждому из образцов типа Б – 7 видов. Известно, что вес всех собранных образцов не должен превышать 149 кг, а общее число всех проведенных анализов должно быть не менее, чем 249. Какое минимальное и максимальное суммарное количество образцов обоих типов можно собрать при указанных условиях?

 

2. Для каждого значения параметра определить точки, являющиеся решением задачи

 

3. Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами начинки: ягодная и творожная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также производственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.

Вид начинки	Себестоимость (за 1 тонну)	Отпускная цена (за 1 тонну)	Производственные возможности
ягоды	70 тыс. руб.	100 тыс. руб.	90 (тонн в мес.)
творог	100 тыс. руб.	135 тыс. руб.	75 (тонн в мес.)

Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от производства блинчиков за 1 месяц.

 

4. Строительной организации необходимо построить некоторое количество одинаковых домов общей площадью ровно 2500 кв.м. Стоимость одного дома площадью а кв.м складывается из стоимости материалов p₁a^3/2 тыс. руб., стоимости строительных работ p₂a тыс. руб. и стоимости отделочных работ p₃a^1/2 тыс. руб. Числа p₁, p₂, p₃ являются последовательными членами геометрической прогрессии, их сумма равна 21, а их произведение равно 64. Если построить 63 дома, то затраты на материалы будут меньше, чем затраты на строительные и отделочные работы. Сколько следует построить домов, чтобы общие затраты были минимальными?

 

5. Ровно в 11:00 из пункта А в пункт Б выехал велосипедист. Проехав две пятых пути, наблюдательный велосипедист заметил, что мимо него в сторону пункта А прошел некий пешеход. В тот самый момент, когда велосипедист прибыл в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал мотоциклист. Когда до пункта А оставалось две седьмых пути, не менее наблюдательный мотоциклист заметил, что он поравнялся с тем самым пешеходом. Во сколько придет пешеход в пункт А, если известно, что мотоциклист прибыл в пункт А ровно в 12:00? Скорости пешехода, велосипедиста и мотоциклиста считать постоянными.

 

6. Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние?

 

7. На прямой, параллельной оси ординат, взяты точки, лежащие на графиках функций y=x+3 и y=x-1. Найдите координаты этих точек, если известно, что сумма квадратов расстояний от этих точек до точки М (-2;-3) является наименьшей из возможных.

 

8. Среди всех решений системы найдите такое, при котором выражение принимает минимальное значение.

 

9. Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объёме t ² Гбайт входящей в него информации выходит 20 t Гбайт, а с сервера №2 при объёме t ² Гбайт входящей в него информации выходит Гбайт обработанной информации; 25 < t < 55. Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?

 

10. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t ² часов в неделю, то за эту неделю они производят 3 t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t ² часов в неделю, то за эту неделю они производят 4 t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.

Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?