Последовательности и закономерности

1. В последовательности чисел 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28… опишите закономерность и найдите число, стоящее на 17 месте.

Ответ: 17*16/2 = 136.

2. В последовательности чисел 3, 15, 35, 63, 99, 143, … опишите закономерность и найдите число, стоящее на 2017 месте.

Решение. (2n-1)*(2n+1). Ответ: (2*2017-1)*(2*2017+1). Ответ: 16273155.

3. Найдите последнюю цифру суммы 1+3+5+7+…+99. Не забудьте обосновать ответ.

Решение 1. По правилу Гаусса, сумма равна (1+99)*99/2 = 99*50 = 4950. Ответ: 0.

Решение 2. Так как 1+3+5+7+9 = 20, то развивая слагаемые по десяткам, получим сумму слагаемых, кратных 10. Ответ: 0.

4. Первый раз будильник звонит в полночь. Затем через каждые 7 часов. Во сколько часов прозвенит будильник в 2017 раз? Ответ поясните.

Решение. Имеем последовательность звонков: 0, 7, 14, 21, 4, 11, 18, 1, 8, 15, 22, 5, 12, 19, 2, 9, 16, 23, 6, 13, 20, 3, 10, 17, 0, … Таким образом, период равен 24. Так как 2017 = 24*84+1, то 2017-й раз будильник прозвенит в 7 часов. Ответ: 7:00.

5. Из точки А в точку В разрешается двигаться по ребрам, причем только по вертикали вверх, и по горизонтали вправо. Для прямоугольника 1 х 1 из точки А в точку В можно добраться 2 способами. Сколькими способами можно добраться из точки А в точку В для прямоугольника 1 x 2017, двигаясь таким образом? Ответ обоснуйте.

Решение. Во все узлы нижнего ряда можно добраться единственным способом. В узлы среднего ряда по следующей закономерности: 1, 2, 3, …, 2018. Точка В будет с 2018 способами. Ответ: 2018.

Игры и алгоритмы

6. На столе лежит ваза с 15 конфетами. Крош и Нюша играют в игру. Начинает Крош. За один ход игрок может взять из вазы одну конфету и съесть её. Проигрывает тот, кто не может больше сделать хода (то есть в вазе больше нет конфет и ему нечего больше взять). Может ли Нюша победить в этой игре?

Решение. Первую конфету возьмет Крош, вторую – Нюша, третью – Крош, четвертую – Нюша, …, пятнадцатую – Крош. Значит, в любом случае победит Крош.

Ответ: не может.

7. Маруся и Катя играют в игру. Начинает Маруся. Перед ними лежит куча, в которой ровно 9 камней. За один ход из кучи можно убирать один или два камня. Проигрывает тот, кто больше не может сделать хода (то есть из кучи больше нечего убирать). Может ли в этой игре выиграть Катя, как бы ни ходила ее соперница? Если да, то опишите её выигрышную стратегию, то есть сколько камней она должна брать за каждый свой ход, чтобы победить.

Решение. Может. Она должна поступать следующим образом. Если Маруся берет 1 камень, то Катя должна брать 2, а если Маруся берет 2 камня, то брать 1 (то есть дополнять ходы Маруси до 3). Тогда Катя победит, ведь камней всего 9, а 9 кратно 3.

Ответ: может.

8. В городе Волшебный есть необычный автомат. В нем можно делать следующее: менять 3 леденца на 1 шоколадку, 5 леденцов на 1 лимонад, 1 шоколадку на 5 леденцов, 1 лимонад на 8 леденцов. У Карамельки есть 10 леденцов. Объясните, как ей с помощью этого автомата за 8 попыток удвоить количество своих леденцов, то есть в итоге иметь 20 леденцов?

Решение. Например, так: .

9. Три сестры – Маша, Таня и Аня – делят три коробки с конфетами. В первой коробке 10 конфет, во второй – 12, а в третьей – 15. Их старший брат Алексей решил им помочь. За один ход он может съедать по одной конфете из любых двух коробок. Сможет ли он за несколько таких ходов уравнять (сделать равными) количество конфет в этих трех коробках?

Решение. Сможет. Например, так: .

Ответ: сможет.

10. У Коли есть 5 одинаковых на вид металлических шариков (три из них серебряные, остальные – алюминиевые) и коробка, в которой помещается ровно два шарика. Коробка издает сигнал, только если в ней оба шарика серебряные, иначе – молчит. Покажите как Коле не более, чем за четыре попытки гарантированно добиться того, чтобы коробка издала сигнал?

Решение. Кладем в коробку первый и второй шарик. Если коробка не издает сигнал, то либо один из шариков алюминиевый, либо оба. Кладем теперь третий и четвёртый шарик. Если коробка снова не издает сигнал, то:

1) один из шариков алюминиевый,

2) из первых двух шариков один алюминиевый,

3) пятый шарик точно серебряный.

Осталось проверить пятый шарик в паре с каждым из первых двух.