Пусть дана система линейных уравнений:
. (3.3)
В матричном виде:
,
; ; . (3.4)
Предполагая, что диагональные элементы aii ¹ 0,(j = 1, 2, …, n), выразим х 1 через первое уравнение системы, х 2 – через второе, и т.д.
;
;
… (3.5)
.
Обозначим , , где i = 1, …, n; j = 1, …, n, тогда
(3.6)
Эта система называется системой, приведенной к нормальному виду.
Введя обозначения
, .
Запишем систему (3.3) в матричной форме
или
. (3.7)
Решим систему (3.7) методом последовательного приближения, за нулевое приближение возьмем столбец свободных членов:
- нулевое приближение;
- 1-е приближение;
- 2-е приближение.
Любое приближение вычисляется по формуле X ( k+ 1) = b + aХ ( k ). Если последовательность приближения X (0), X (1), …, X ( k ) имеет предел X = lim X ( k ) при k ¥, то этот предел является решением системы (3.6). Поскольку по свойству предела lim X ( k +1) = b + a lim X ( k ), k ¥, тогда X = a + bХ.