Теорема Гаусса в дифференциальной форме

Теорема Гаусса была записана в интегральной форме. Интегральная форма давала связь между потоком вектора Е через поверхность s, ограничивающую некоторый объем, и алгебраической суммой зарядов, находящихся внутри этого объема. Интегральная форма не дает ответа на вопрос, как связан исток линий D в данной точке поля с плотностью свободных зарядов в той же точке поля. Ответ на этот вопрос дает дифференциальная форма теоремы Гаусса. Чтобы прийти к ней, поделим обе части уравнения (11.17) на одну и ту же скалярную величину - на объем V, находящийся внутри замкнутой поверхности s:

Последнее выражение остается справедливым для объема V любой величины. Устремим объем к нулю:

При стремлении объема к нулю также стремится к нулю, но отношение двух бесконечно малых величин и V есть величина конечная. Предел отношения потока векторной величины D сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем к объему V называют дивергенцией вектора D( div D). Часто вместо термина дивергенция употребляют ему эквивалентный термин расхождение или исток вектора D. В правой части последнего выражения находится объемная плотность свободного заряда, ее обозначают ρ_свб.

Таким образом, теорема Гаусса в дифференциальной форме записывается следующим образом,

div` D =ρ_свб, (11.21)

т. е. исток линий D в данной точке поля определяется величиной плотности свободных зарядов в этой точке. Если объемная плотность зарядов в данной точке положительна (ρ_свб > 0), то из бесконечно малого объема, окружающего данную точку поля, линии вектора D исходят (исток положителен, рис. 1.7). Если в данной точке поля ρ_свб < 0, то в бесконечно малый объем, внутри которого находится данная точка, линии вектора D входят. И, наконец, если в какой-либо точке поля ρ_свб =0, то в данной точке поля нет ни истока, ни стока линий D, т. е. в данной точке линии вектора D не начинаются и не заканчиваются.

Рис. 11.7. Иллюстрация дивергенции вектора D (div`D).

Если среда однородна и изотропна, то ее e=const, и потому вместо (11.21) можно записать следующее выражение

div e`E = ρ_свб.

Вынесем e за знак дивергенции

e div `Е == ρ_свб,

следовательно,

. (11.22)

Это есть вторая форма записи теоремы Гаусса в дифференциальном виде. Она справедлива только для однородной и изотропной среды. Для неоднородной среды ε является функцией координат, и потому ε не может быть вынесена за знак дивергенции.

Уравнение (11.18') в дифференциальной форме запишется так:

. (11.22^’)

Следовательно, истоком вектора E, в отличие от истока вектора D, являются не только свободные, но и связанные заряды. В различных системах координат div Е раскрывается различно.

11.16. Вывод выражения для div Е в декартовой системе координат

Выделим в пространстве весьма малый параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Расположим ребра параллелепипеда параллельно осям декартовой системы (рис. 11.8). Для нахождения истока вектоpa E из данного объема составим разность потоков, вытекающих из объема и втекающих в него, и поделим разность потоков на величину объема параллелепипеда, равную dxdydz. Левую грань площадью dxdz пронизывает только одна составляющая вектора E, а именно составляющая jЕ _y остальные составляющие (iE_x и kE_z) скользят по грани. Поток вектора, входящий в эту грань равен E_ydxdz. Так как Е есть функция координат, то и ее составляющие также есть функции координат. Правая грань площадью dxdz отстоит от левой грани на расстоянии dy. Проекция вектора E на ось у для нее равна

Здесь скорость изменения Е_у в направлении оси у; есть приращение «игрековой» составляющей напряженности поля на пути dy. Поток, выходящий из правой грани площадью dxdz, равен

Исток через грани площадью dxdz равен dx dy dz. Таким же путем получим разность потоков через грани dydz dxdydz. Разность потоков через грани dxdy (верхнюю и нижнюю стенки объема): dxdydz. Для нахождения div E сложим разности потоков через все грани и поделим на объем параллелепипеда dxdydz, получим