Критичне значення індукції магнітного поля можна розрахувати, базуючись на законах збереження енергії і моменту імпульсу електрона, який рухається у схрещених електричному і магнітному полях магнетрону.
Розглянемо рух електрону у площині, перпендикулярній осі симетрії електродів (рис.3). для цього виберемо циліндричну систему координат , вісь направимо вздовж осі симетрії електродів, – відстань електрону від осі, – азимутальний кут.
Оскільки магнітне поле направлене вздовж осі , воно завжди діє у напрямку, перпендикулярному вектору швидкості електронів, і не змінює їх енергії, остання може змінюватись лише за рахунок роботи сил електричного поля
, (1)
де – заряд електрону, – напруженість електричного поля, – радіус катоду.
Рис.3. Поперечний переріз магнетрону у циліндричній системі координат. Напрямки електричного і магнітного полів, у яких рухається електрон, вказані
Якщо електрон починає рухатись з катоду без початкової швидкості, то в деякій точці з координатами його повна енергія становитиме
|
|
, (2)
де – маса електрону. Дія магнітного поля на електрон призводить до виникнення обертального моменту (момент сили Лоренца ), який дорівнює
. (3)
Цей момент намагається змінити момент імпульсу електрона навколо катоду. Застосовуючи рівняння моментів, знаходимо швидкість зміни моменту імпульсу
. (4)
Інтегруючи це рівняння, отримаємо
. (4а)
Підставляючи це значення у вираз для енергії (2), знаходимо
. (5)
Для граничної траєкторії електрону, який не потрапляє на анод, радіальна складова швидкості при ( – радіус аноду). Тоді, враховуючи, що та
і ,
де – спад анодної напруги, з формули (5) отримаємо
. (6)
Звідси вираз для питомого заряду електрону
. (7)
Отже, для визначення питомого заряду електрону методом магнетрону необхідно знати радіуси катоду і аноду та експериментально визначити критичне значення індукції магнітного поля при заданому значенні анодної напруги .