Показниковий закон розподілу

Означення 2. Неперервна випадкова величина називається розподіленою за показниковим законом з параметром λ > 0, якщо її щільність розподілу ймовірності мас вигляд.

(4)

Крива щільності розподілу зображена на рис. 3. Функцію розподілу F(x) знайдемо за формулою:

Отже, (5)

Графік F(x) зображено на рис. 4.

 

Зауваження 1. .

Приклад 2. Величина X розподілена за показниковим законом з параметром λ= 3. Знайти ймовірність того, що X попаде в інтервал (1;2)

Розв'язання. P(1< X < 2) - F(2) - F(1) = e^-3 - e^-6 Значення e^-3 та e^-6 можна знайти з таблиць.

Теорема 2. Якщо неперервна випадкова величина X розподілена

за показниковим законом з параметром qqq X, то її числовими характеристиками є:

1) (6)

Доведення. Враховуючи вигляд функції щільності (4), знаходимо М(Х), D(X), 𝜎 (X).

1)

/

2)

Приклад 3. Неперервна випадкова величина X розподілена за показниковим законом:

.

Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

Розв'язання. Випадкова величина X розподілена за показниковим

законом з параметром qqqX, = 5. Згідно з рівностями (6) маємо

.

Зауваження 2. Ймовірність того, що випадкова величина X, яка розподілена за законом Пуассона, набуде значення з інтервалу (а,b),

дорівнює:

Зауваження 3. Функція надійності R(t) визначає ймовірність безвідмовної роботи пристрою за час t і визначається формулою

R(t) = e^-λt,λ - інтенсивність відмов.

Нехай Т - тривалість безвідмовної роботи пристрою. Тоді функція розподілу випадкової величини Т виражає ймовірність відмови за час t:

F (t) = P(T<t) = 1- e^-λt. Очевидно, протилежною їй буде функція надійності R(t) = 1 - F(t) = P(t < Т) = e^-λt.

Зауважимо, що для показникового розподілу ймовірність безвідмовної роботи за час t залежить лише від тривалості t процесу, який ми спостерігаємо.

Таку властивість мають радіоапаратура, засоби автоматики тощо, тобто пристрої, для яких процес старіння і поступової втрати якості не відіграє істотної ролі.

Приклад 4. Час безвідмовної роботи електролампи розподіляється

за показниковим законом f(t) = 0,01e^-0,01t. Знайти ймовірність того, що лампа працюватиме t = 100 годин.

Розв'язання Маємо P(Т≥ 100) =R(100) = e ^-0,01100 0,367.

Прикладами неперервних випадкових величин, що задаються показниковим законом, є випадкові величини, що визначають час безвідмовної роботи приладу, час телефонної розмови, час безвідмовної роботи ЕОМ.