Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Функция распределения и плотности многомерной случайной величины

Двумерной называют случайную величину (X,Y), возможные значения которой есть пары чисел (x,у). Составляющие X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную точку М (X;У) на плоскости хОу либо как случайный вектор ОМ.

Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.

Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан:

а) в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности;

б) аналитически, например в виде функции распределения. Функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины называют функцию F (х,у), определяющую для каждой пары чисел (х,у) вероятность того, что X примет значение, меньшее X, и при этом Y примет значение, меньшее у:

F(x,у)=Р(Х<х,У<у).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (х, у) есть вероятность того, что случайная точка (X, У) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (х,у), расположенный.левее и ниже этой вершины. Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».

Функция распределения обладает следующими свойствами:

Свойство1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству

0≤F(x,y)≤1.

Свойство2. Функция распределения есть неубывающая функция по каждому аргументу:

,если х₂>х₁

, если у₂>у₁

Свойство3. Имеют место предельные соотношения:

1)F(- ,y)=0, 2)F(x,- )=0,

3)F(— ,— )=0, 4)F(, )=1.

Свойство 4.

а) При у= функция распределения системы становится функцией распределения составляющей X:

F(x, )=F₁(х).

б)При X= функция распределения системы становится функцией распределения составляющей У:

F(,y)=F₂(y)

Используя функцию распределения, можно найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник x₁<X<x₂, y₁<Y<y₂:

Р(х₁<Х<x₂,y₁<Y<y₂)=[F(x₂,y₂)—F(x₁,y₂)]—[F(x_2,y₁)—F(x₁,y₁)]/

Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называют вторую смешанную производную от функции распределения:

Иногда вместо термина «двумерная плотность вероятности» используют термин «дифференциальная функция системы». Плотность совместного распределения можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Лд: и Л^ к площади этого прямоугольника, когда обе его стороны стремятся к нулю; геометрически ее можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения. Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формуле

Вероятность попадания случайной точки (Х,Y) в область D определяется равенством

Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами:

 

Свойство 1. Двумерная плотность вероятности неотрицательна:

Свойство 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности вероятности равен единице:

В частности, если все возможные значения (X, Y) принадлежат конечной области D, то

Распределением системы СВ называется соотношение, устанавливающее зависимость между значениями системы СВ и вероятностями их появления.

Функцией распределения системы СВ () называется неслучайная функция n, действительных переменных , определяемая как вероятность совместного выполнения n неравенств

Функцией распределения F(x,y) системы двух СВ F(x,y) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств X<x, Y<y, т.е.

Плотностью вероятности системы СВ () называют смешанные частные производные от функции распределения , взятая по всем переменным

26. Условные распределения составляющих многомерной случайной величины.

Условной функцией распределения СВ Х относительно определенных значений СВ Y, называется условной вероятностью выполн. неравенства Х<х относительно значений Y, удовлетворяющих неравенству y₁<Y<y₂:

При условии, что

Условной плотностью вероятности СВ Х при условии, что Y=y, называется отношение плотности вероятности систем СВ (X,Y) к плотности вероятности СВ Y:

Аналогично

Для независимой СВ X и Y справедливы соотношения: