Производная функции.
1. Определение производной, её геометрический смысл.
2.Производная сложной функции.
3. Производная обратной функции.
4. Производные высших порядков.
5. Параметрически заданные функции и неявно.
6. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.
Введение.
Источником дифференциального исчисления были два вопроса, выдвинутые запросами науки и техники в 17 веке.
1) Вопрос о вычислении скорости при произвольно заданном законе движения.
2) Вопрос о нахождении (с помощью вычислений) касательной к кривой произвольно заданной.
Задачу проведения касательной к некоторым кривым решил ещё древнегреческий учёный Архимед (287-212 г.г. до н.э.), пользуясь методом вычерчивания.
Но только в 17 и 18 веках в связи с прогрессом естествознания и техники эти вопросы получили должное развитие.
Одним из важных вопросов при изучении любого физического явления обычно является вопрос о скорости, быстроте происходящего явления.
Скорость с которой движется самолёт или автомобиль, всегда служит важнейшим показателем его работы. Быстрота прироста населения того или иного государства является одной из основных характеристик его общественного развития.
|
|
Первоначальная идея скорости ясна каждому. Однако для решения большинства практических задач этой общей идеи недостаточно. Необходимо иметь такое количественное определение этой величины, которую мы называем скоростью. Потребность в таком точном количественном определении исторически послужила одним из основных побудителей к созданию математического анализаю. Целый раздел математического анализа посвящен решению этой основной задачи и выводам из этого решения. К изучению этого раздела мы и переходим.
Определение производной, её геометрический смысл.
Пусть дана функция определённая в некотором интервале (а,в) и непрерывная в нём.
1. Дадим аргументу х приращение , тогда функция получит
приращение :
= -
2. Составим отношение .
3. Переходя к пределу в при и, предполагая, что предел
существует, получим величину , которую называют
производной функции по аргументу х.
Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда →0.
Значение производной очевидно зависит от точки х, в которой оно найдено, поэтому производная функции есть в свою очередь некоторая функция от х. Обозначается .
По определению имеем
или (3)
Пример. Найти производную функции .
1. ;
2.
3.
4. . Итак .
Механический смысл производной:
скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t0 есть производная пути по времени
|
|
Геометрический смысл производной:
тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0 равен производной функции f(x) в точке x0
Уравнение касательной к кривой: (4)
Нормаль к кривой в точке М0 – прямая проходящая через точку М0, перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.
Уравнение нормали к кривой: . (5)