Исследование функции на экстремум.
1.Условия возрастания и убывания функции.
2. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
3.Достаточные признаки существования экстремума.
Введение.
Основным содержанием данной лекции является исследование функции и построение графиков. Это важнейшие практические результаты математической теории. Аппарат дифференциального исчисления представляет возможность для создания более совершенных методов исследования функции. С помощью производных первого и второго порядка можно, оказывается, достаточно быстро и полно выяснить все наиболее характерные особенности в поведении той или иной функции.
Условия возрастания и убывания функции.
Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в промежутке
(а, в),если большему значению аргумента в этом промежутке соответствует большее (меньшее) значение функции.
Это значит, что для любых и в промежутке (а, в) в случае возрастания функции неравенству соответствует неравенство f()>f(),т.е. и ,а в случае убывания неравенство f ()>f(),т.е. и .
|
|
Теорема 1. (Необходимый признак возрастания (убывания) функции в данном промежутке)
Если функция y=f(x) дифференцируема в промежутке (а, в),то при всех значениях а<x<в её производная неотрицательна (неположительная).
Из графика возрастающей функции видно, что касательные к кривой наклонены к оси Ох под острым углом, а убывающей под тупым углом. Такое расположение касательных определяет неотрицательные (неположительные) значения угловых коэффициентов, что приводит к условию (), которое равносильно .
Теорема 2. (Достаточные признаки возрастания (убывания) функции в данном промежутке)
Если дифференцируемая в промежутке (а, в) функция y=f(x) имеет при любом значение а<x<в положительную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) в данном промежутке.
Для исследования функции на возрастание и убывание необходимо:
1. Найти область определения функции.
2. Найти её производную.
3. Найти значения х, при которых .
4. Разбить всю область существования функции найденными значениями х на отдельные промежутки и для каждого из них найти знак производной: если то на данном промежутке функция возрастает, если - функция убывает.
Пример. Исследовать на возрастание и убывание функцию y=2
1) Д(у)=R
2)
3)
x | (-∞; -3) | -3 | (-3; 2) | (2; +∞) | |
yI | + | - | + | ||
y |
Возраст. Убывающ. Возраст.