Говорят, что функция у=f(х) имеет максимум (минимум) при , если для всех значений и достаточно близких к выполняется неравенство f(x)<f();(f(x)>f())
Точки кривой близки точки максимума расположены выше этой точки().
Максимум и минимум функции называются экстремумами, точка -точка экстремума.
Теорема 1. (Необходимое условие экстремума) Если функция, у=f(х) дифференцируема в промежутке (а, в), имеет в некоторой точке внутри этого промежутка экстремум, то её производная в этой точке равна нулю, т.е
(1)
Теорема позволяет установить отсутствие у функции экстремума, если производная исследуемой функции не имеет критических точек, т.е. действительных корней.
Условие (1) означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции f(x) касательная параллельна оси Ох.
Функция может иметь экстремум и в точках, где производная не существует, например, графиком такой функции имеет узлом.
Значение аргумента при которых производная равна нулю или не существует, называются критическими.
|
|
Таким образом, если функция имеет экстремум, то он может быть только в критических точках.