а) Пусть - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t, т.е.
,
.
Тогда функция является сложной функцией
независимой переменной t. Переменные х и у являются промежуточными аргументами.
Предположим, что и
дифференцируемые функции. Придадим переменной t приращение Δt, тогда
и
получат соответственно приращения Δх и Δу и приращение Δz будет иметь вид:
, где
и
Разделим Δz на Δt:
и перейдём к пределу при Δt→0:
=
= .
Из дифференцируемости функций и
, следует их непрерывность, т.е.
и
.
Следовательно,
;
.
Таким образом,
(1)
Пример.
,
,
Решение.
;
;
;
Итак,
-
Замечание. Если , где
, то
- сложная функция одной переменной. Тогда
или
(2)
Производную (2) называют полной производной функции .
Пример. ,
Решение.
;
;
Проверка. Имеем
=
.
б) Пусть , где
и
. Функция
является сложной функцией независимых переменных u и v, а переменные х и у называют промежуточными аргументами.
Предположим, что все функции дифференцируемые. Чтобы найти , надо считать, что v=const. Тогда х и у становятся функциями только одной переменной и мы приходим к рассмотренному случаю. Разница только в том, что
и
заменяются частными производными
и
.
|
|
Таким образом,
(3)
Пример. ;
;
Решение.
;
;
;
;
Имеем
=
-
=
-
4. Инвариантность формы полного дифференциала.
Если х и у – независимые переменные, то полный дифференциал функции имеет вид
(4)
Пусть и
, тогда и функция z является функцией независимых переменных u и v:
По определению полного дифференциала на основании равенства (4) имеем
Учитывая формулы (3), получим
Раскроем скобки и вынесем за скобки и
:
;
Учитывая, что
,
получим
(5)
Сравнивая равенства (4) и (5) делаем вывод.
Дифференциал функции сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли её аргументы х и у независимыми переменными или функциями независимых переменных.
Таким образом, для функции 2-х переменных имеет место свойство инвариантности формы полного дифференциала.
Для функции 2-х переменных имеют место правила дифференцирования, выраженные следующими формулами:
1)
2)
3) , где
4)
5) , где
,
где u,v,w – функции любого числа переменных.
Пример.
;
;
Решение.
(
-
)
(
-
)
Или, учитывая, что
,
(
) -
(
)=
=( -
)
(
-
)
.
Заключение.
Важной частью исследования функций является локальное исследование, под которым понимается сравнение значения функции в данной точке со значениями функции в точках, близких к данной. Всё изложение данной лекции было проведено на примере функции двух переменных, это позволяет сделать обсуждение геометрически наглядным. Следует заметить, что каждое утверждение о функции двух переменных, которое было приведено, без труда обобщается на случай функции п -переменных.
|
|